CÂU 1./
Gọi E, F, G, H, K, L lần lược là trung điểm cạnh BC, AD, AB, CD, AC, DB
Xét tam giác CAD và tam giác BDA, ta có:
AC = BD
AD là cạnh chung
AB = CD
Cho nên ta có tam giác CAD = tam giác BDA (trường hợp cạnh cạnh cạnh)
Nên trung tuyến hạ từ hai đỉnh tương ứng là bằng nhau: BF = CF
Từ đó ta có tam giác BFC cân tại F.
EF là đường trung tuyến trong tam giác cân BFC nên cũng là đường cao và EF [tex]\bot[/tex] BC
Tương tự như thế ta cũng có EF [tex]\bot[/tex] AD.
EF là đường trung trực của cả AD và BC
Cho nên EF chính là trục đối xứng biến:
* A thành D; B thành C.
* Tam giác ABC thành tam giác DCB.
* Tam giác CAD thành tam giac BDA.
Do đó Khoảng cách từ bất kì một điểm nào trên EF đến các tam giác đối xứng nhau cũng bằng nhau, hay nói cách khác là tâm đường tròn nội tiếp nếu tồn tại sẽ phải nằm trên EF,
Tương tự như EF ta có GH và KL có cùng tính chất như vậy
Vậy tâm hình cầu nội tiếp nhất định là giao điểm của EF, GH, KL
Nhưng ba cặp cạnh này lại đồng qui tại một điểm I nó vốn là trọng tâm tứ diện.
Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp
CÂU 2./
Điều kiện cần: Lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp => nội tiếp hình cầu
Ta gọi các điểm của lăng trụ phân làm 2 lớp:
Lớp thứ 1: [tex]B_{1}[/tex], [tex]B_{2}[/tex], [tex]B_{3}[/tex],… (Lớp đáy đa giác đều)
và lớp thứ 2: [tex]A_{1}[/tex], [tex]A_{2}[/tex], [tex]A_{3}[/tex],…
Đáy lăng trục là đa giác nội tiếp đường tròn cho nên tồn tại trục của đa giác nội tiếp
Hay nói cách khác là tồn tại những điểm G cách đều các điểm thuộc lớp thứ 1
Điểm G này thuộc trục của đáy đa giác đều [tex]B_{1}[/tex], [tex]B_{2}[/tex], [tex]B_{3}[/tex],…
Gọi M là trung điểm [tex]A_{1}B_{1}[/tex]
Do lăng trụ này là lăng trụ đứng nên tồn tại một mặt phẳng đối xứng qua M và cắt trục của đa giác đáy tại G,
(dùng tích chất trung tuyến và tam giác cân) dễ dàng có [tex]GA_{1} = GB_{1}[/tex]
Và G chính là tâm hình cầu ngoại tiếp
Điều kiện đủ: Lăng trụ nội tiếp hình cầu => Lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp
Dùng chứng minh gián tiếp cho nhanh ()
Ta sẽ chứng minh một điều tương đương với điều kiện đủ là:
Lăng trụ không phải :”lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp” => lăng trụ này không nội tiếp hình cầu
Do không có đáy là đa giác nội tiếp hình tròn nên không có trục cách đều các điểm của đa giác (hay là không có điểm nào cách đều các điểm của lớp 1) nên không có hình cầu nào nội tiếp cả.
CÂU 3./
Dùng câu 2 ta có Hình hộp này là hình hộp chữ nhật
Hình (với a = AB; b = BC; c = AA')
Thẳng thừng mà nói thì Diện tích toàn phần của hình hộp là:
2(2(a+b))+2(2(a+c))+2(2(b+c))=8(a+b+c)
Dùng bất đẳng thức ta có:
[tex]8(a+b+c)=8(1.a+1.b+1.c)\leq8.\sqrt{1^2+1^2+1^2}. \sqrt{a^2+b^2+c^2}=8\sqrt{3}\sqrt{A'C^2}[/tex]
Chỗ [tex]A'C^2[/tex] thì nhớ dùng Pytago. A'C là đường kính luôn đó!
Vậy hình hộp có diện tích xung quanh lớn nhất nội tiếp hình cầu là hình lập phương
Còn cái bất đẳng thức này là BCS còn không thì dùng bdt véc tơ [tex]|u.v|\leq|u|.|v|[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
