mặt cầu tiếp xúc ( nội tiếp )

Thảo luận trong 'Khối đa diện' bắt đầu bởi camdorac_likom, 24 Tháng tám 2008.

Lượt xem: 16,154

  1. [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn học. Click ngay để nhận!


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Mình có 3 bài này muốn nhờ các bạn giúp:
    1/Cho tứ diện ABCD với AB=CD=c, AC=BD=b, AD=BC=a
    Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với bón mặt của hình tứ diện ( nó được gọi là mặt cầu nội tiếp tứ diện )
    2/ Chứng minh rằng một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng với đáy là đa giác nội tiếp đường tròn (Câu này mình không làm dc vì mình thấy hình như nó đương nhiên rồi ý, chẳng biết phải trình bày thế nào )
    3/ Trong số các hình hộp nội tiép mặt càu cho trước, hình hộp nào có diện tích toàn phần lớn nhất?
     
  2. huongduong67

    huongduong67 Guest

    bạn ơi cho mình hơi: ở câu 3 thi` do' là nhữnh hình hôp nào
     
  3. alph@

    alph@ Guest

    CÂU 1./
    [​IMG]

    Gọi E, F, G, H, K, L lần lược là trung điểm cạnh BC, AD, AB, CD, AC, DB
    Xét tam giác CAD và tam giác BDA, ta có:
    AC = BD
    AD là cạnh chung
    AB = CD
    Cho nên ta có tam giác CAD = tam giác BDA (trường hợp cạnh cạnh cạnh)
    Nên trung tuyến hạ từ hai đỉnh tương ứng là bằng nhau: BF = CF
    Từ đó ta có tam giác BFC cân tại F.
    EF là đường trung tuyến trong tam giác cân BFC nên cũng là đường cao và EF [tex]\bot[/tex] BC
    Tương tự như thế ta cũng có EF [tex]\bot[/tex] AD.
    EF là đường trung trực của cả AD và BC
    Cho nên EF chính là trục đối xứng biến:
    * A thành D; B thành C.
    * Tam giác ABC thành tam giác DCB.
    * Tam giác CAD thành tam giac BDA.
    Do đó Khoảng cách từ bất kì một điểm nào trên EF đến các tam giác đối xứng nhau cũng bằng nhau, hay nói cách khác là tâm đường tròn nội tiếp nếu tồn tại sẽ phải nằm trên EF,

    Tương tự như EF ta có GH và KL có cùng tính chất như vậy
    Vậy tâm hình cầu nội tiếp nhất định là giao điểm của EF, GH, KL
    Nhưng ba cặp cạnh này lại đồng qui tại một điểm I nó vốn là trọng tâm tứ diện.
    Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp

    CÂU 2./
    [​IMG]
    Điều kiện cần: Lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp => nội tiếp hình cầu
    Ta gọi các điểm của lăng trụ phân làm 2 lớp:
    Lớp thứ 1: [tex]B_{1}[/tex], [tex]B_{2}[/tex], [tex]B_{3}[/tex],… (Lớp đáy đa giác đều)
    và lớp thứ 2: [tex]A_{1}[/tex], [tex]A_{2}[/tex], [tex]A_{3}[/tex],…
    Đáy lăng trục là đa giác nội tiếp đường tròn cho nên tồn tại trục của đa giác nội tiếp
    Hay nói cách khác là tồn tại những điểm G cách đều các điểm thuộc lớp thứ 1
    Điểm G này thuộc trục của đáy đa giác đều [tex]B_{1}[/tex], [tex]B_{2}[/tex], [tex]B_{3}[/tex],…
    Gọi M là trung điểm [tex]A_{1}B_{1}[/tex]
    Do lăng trụ này là lăng trụ đứng nên tồn tại một mặt phẳng đối xứng qua M và cắt trục của đa giác đáy tại G,
    (dùng tích chất trung tuyến và tam giác cân) dễ dàng có [tex]GA_{1} = GB_{1}[/tex]
    Và G chính là tâm hình cầu ngoại tiếp
    Điều kiện đủ: Lăng trụ nội tiếp hình cầu => Lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp
    Dùng chứng minh gián tiếp cho nhanh ()
    Ta sẽ chứng minh một điều tương đương với điều kiện đủ là:
    Lăng trụ không phải :”lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp” => lăng trụ này không nội tiếp hình cầu
    Do không có đáy là đa giác nội tiếp hình tròn nên không có trục cách đều các điểm của đa giác (hay là không có điểm nào cách đều các điểm của lớp 1) nên không có hình cầu nào nội tiếp cả.

    CÂU 3./
    Dùng câu 2 ta có Hình hộp này là hình hộp chữ nhật
    Hình (với a = AB; b = BC; c = AA')
    [​IMG]
    Thẳng thừng mà nói thì Diện tích toàn phần của hình hộp là:
    2(2(a+b))+2(2(a+c))+2(2(b+c))=8(a+b+c)
    Dùng bất đẳng thức ta có:
    [tex]8(a+b+c)=8(1.a+1.b+1.c)\leq8.\sqrt{1^2+1^2+1^2}. \sqrt{a^2+b^2+c^2}=8\sqrt{3}\sqrt{A'C^2}[/tex]

    Chỗ [tex]A'C^2[/tex] thì nhớ dùng Pytago. A'C là đường kính luôn đó!
    Vậy hình hộp có diện tích xung quanh lớn nhất nội tiếp hình cầu là hình lập phương

    Còn cái bất đẳng thức này là BCS còn không thì dùng bdt véc tơ [tex]|u.v|\leq|u|.|v|[/tex]
     
    Last edited by a moderator: 27 Tháng tám 2008
  4. bạn làm thế nào mà vẽ được những hình đó thế. Thanks nhé bạn hiền
     
  5. bạn ơi hình như bạn nhầm ở điểm này , diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật không phải là :
    2(2(a+b))+2(2(a+c))+2(2(b+c))=8(a+b+c); đây là tổng chu vi các mặt
    diện tích phải là 2ab+2bc+2ac rồi áp dụng bunhi a thì ta cũng ra dc đáp số là hình lập phương
    Thân
     
  6. alph@

    alph@ Guest

    Ừ ừ! Lúc đó sơ ý quá!! Chắc tại vẽ xong cái hình mừng quá!!
     
  7. huongduong67

    huongduong67 Guest

    các bạn giỏi quá , các bạn chỉ dùm mình các vẽ hình đó đi cảm ơn nhiều..
     
  8. Ừ, bạn ý pờ rồ thật đấy; giải bài tập vẽ hình hẳn hoi(*)
     
  9. vohungvi

    vohungvi Guest

    trên cả tuyệt vời....................................................................
     
  10. giangriver

    giangriver Guest

    Vẽ hĩnh dùng Geometrysketchpad ý download ở trang www.khoia0.com
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY