Toán 12 Mặt cầu cố định

[NTP.QUYNH]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2n(1− m^2 )x + 4mny + (1+ m^2 )(1− n^2 )z + 4(m^2.n^2 + m^2 + n^2 +1) = 0 với m,n là các số thực tuỳ ý. Biết rằng mặt phẳng (P) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó.

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

Ai giúp mình với!

 

[Ivysaur]

Mặt phẳng [tex](P)[/tex] có phương trình [tex]ax+by+cz+d=0[/tex] trong đó:
[tex]a=2n(1-m^2),\;\;b=4mn,\;\;c=(1+m^2)(1-n^2)[/tex] .

Bạn hãy kiểm tra:
[tex]\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{4n^2(1-m^2)^2+16m^2n^2+(1+m^2)^2(1-n^2)^2}=(1+m^2)(1+n^2)[/tex] .

Gọi mặt cầu cố định [tex](S)[/tex] có tâm [tex](x_0,y_0,z_0)[/tex] và bán kính [tex]r[/tex] .
Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng [tex](P)[/tex] phải bằng bán kính [tex]r[/tex] :

[tex]\dfrac{2n(1-m^2)x_0+4mny_0+(1+m^2)(1-n^2)z_0+4(m^2n^2+m^2+n^2+1)}{(1+m^2)(1+n^2)}=r[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\quad\dfrac{2n(1-m^2)x_0+4mny_0+(1+m^2)(1-n^2)z_0}{(1+m^2)(1+n^2)}+4=r[/tex]

Vì [tex]r[/tex] là cố định với mọi [tex]m,\;n[/tex] nên phải có: [tex]x_0=y_0=z_0=0[/tex] .

Suy ra: [tex]r=4[/tex].