Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC và H là trực tâm. CMR:
[tex]MA^{2}+MH^{2}=AH^{2}+\frac{1}{2}BC^{2}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MH}\Leftrightarrow AH^2=AM^2+MH^2+2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MH}=AM^2+MH^2-2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}[/tex]
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh: [tex]\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=\frac{BC^2}{4}[/tex] nữa là xong!
Thật vậy:
Ta có: [tex]\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA})(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CH})=...=\frac{1}{4}(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CH})= \frac{1}{4}(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CA}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BH}))=\frac{1}{4}(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB})=\frac{1}{4}(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CH}))=\frac{1}{4}(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC})=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}^2=\frac{BC^2}{4}[/tex]
Thay vào là $OK$ nhé bạn!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
