Toán 12 $m=?$ để $4^{\sin^2x}+5^{\cos^2x}\le m\cdot 7^{\cos^2x}$ có nghiệm

[hh0926261619]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $4^{\sin^2x}+5^{\cos^2x}\le m\cdot 7^{\cos^2x}$ có nghiệm là $m\in\left[\dfrac ab;+\infty\right)$ với $a,b$ là các số nguyên dương và $\dfrac ab$ tối giản. Tổng $S=a+b$ là:
A. $S=13$
B. $S=15$
C. $S=9$
D. $S=11$

Mọi người cho em hỏi chỗ này tại sao m>= min chứ không phải max vậy à. Theo từ trước giờ e làm phải là max chứ ạ

 

[7 1 2 5]

View attachment 194015 Mọi người cho em hỏi chỗ này tại sao m>= min chứ không phải max vậy à. Theo từ trước giờ e làm phải là max chứ ạ
View attachment 194016

Để phương trình có nghiệm thì [tex]\underset{[0,1]}{\min g(t)} \leq m \leq \underset{\max g(t)}{[0,1]}[/tex] hoặc $m \geq \underset{\max g(t)}{[0,1]}$
Mà [tex]\underset{t \to 0^+}{\lim}g(t)=+\infty[/tex] nên điều kiện cần và đủ để bất phương trình có nghiệm là [TEX]m \geq \underset{[0,1]}{\min g(t)}[/TEX]

(Câu 36: Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ thỏa mãn $4^{\sin ^2x}+5^{\cos ^2x} \leq m. 7^{\cos ^2x}$ có nghiệm là $m \in [\frac{a}{b},+\infty)$ với $a,b$ là số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ tối giản. Tổng $S=a+b$ là:
A. $S=13$
B. $S=15$
C. $S=9$
D. $S=11$

Lời giải: Vì $\sin ^2x,\cos ^2x$ có mối quan hệ qua lại với nhau nên ta sẽ biến đổi và tiến hành đặt ẩn phụ.
$4^{\sin ^2x}+5^{\cos ^2x} \leq m. 7^{\cos ^2x} \Leftrightarrow 4^{1-\cos ^2x}+5^{\cos ^2x} \leq m.7^{\cos ^2x} \Leftrightarrow m \geq \frac{4}{28^{\cos ^2x}}+(\frac{5}{7})^{\cos ^2x}$
Đặt $\cos ^2x=t \Rightarrow 0 \leq m \leq 1$, khi đó $m \geq \frac{4}{28^t}+(\frac{5}{7})^t=g(t)$
Bất phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow m \geq \underset{[0,1]}{\min g(x)}$
Dễ thấy $g'(t)<0 \forall t \in [0,1] \Rightarrow \underset{[0,1]}{\min g(x)}=g(1)=\frac{6}{7} \Rightarrow m \geq \frac{6}{7}$ là giá trị cần tìm
Vậy $a+b=6+7=13$.

 

[hh0926261619]

Ukm lạ vậy. Hồi trước lúc giải pt thầy cô bảo là cô lập m về thành f(x) <m mà để nó đúng với mọi x thì m khi lớn hơn thì phải lớn hơn số lớn nhất cơ mà ?

 

[7 1 2 5]

Ukm lạ vậy. Hồi trước lúc giải pt thầy cô bảo là cô lập m về thành f(x) <m mà để nó đúng với mọi x thì m khi lớn hơn thì phải lớn hơn số lớn nhất cơ mà ?

Đây là bất phương trình có nghiệm chứ không phải đúng với mọi $x$ nhé.
Bất phương trình có thể có nghiệm là tập con của khoảng $[0,1]$ chứ không phải nhất thiết cả đoạn nhé.

 

[vangiang124]

Ukm lạ vậy. Hồi trước lúc giải pt thầy cô bảo là cô lập m về thành f(x) <m mà để nó đúng với mọi x thì m khi lớn hơn thì phải lớn hơn số lớn nhất cơ mà ?

Chị hay hiểu như thế này, em để ý có 2 trường hợp:
đúng với mọi m
có nghiệm với m


Nếu mà đúng với mọi thì đường thẳng $y=m$ phải nằm hoàn toàn phía trên đồ thị, tức là lớn hơn max
Còn người ta bảo có nghiệm thôi, thì chỉ cần có lớn hơn là được, thì nó chỉ cần lớn hơn min nha em