- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
I. Tổ hợp
1. Quy tắc đếm
a. Quy tắc nhân:
Nếu một công việc nào đó phải hoàn thành qua n giai đoạn liên tiếp, trong đó:
Giai đoạn 1 có [tex]m_1[/tex] cách thực hiện
Giai đoạn 2 có [tex]m_2[/tex] cách thực hiện
…. ………..
Giai đoạn n có mn cách thực hiện
Khi đó, có: [tex]m_1.m_2...m_n[/tex] cách để hoàn thành công việc đã cho.
b. Quy tắc cộng:
Nếu một công việc nào nó có thể thực hiện theo n hướng khác nhau, trong đó:
Hướng thứ 1 có [tex]m_1[/tex] cách thực hiện
Hướng thứ 2 có [tex]m_2[/tex] cách thực hiện
…. ………..
Hướng thứ n có mn cách thực hiện
Khi đó, có: [tex]m_1+m_2+...+m_n[/tex] cách để hoàn thành công việc đã cho.
Nhận xét: Từ định nghĩa của quy tắc cộng và quy tắc nhân trên, ta thấy rằng:
- Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta không thể hoàn thành được công việc (không có kết quả) thì lúc đó ta cần phải sử dụng quy tắc nhân.
- Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta vẫn có thể hoàn thành được công việc (có kết quả) thì lúc đó ta sử dụng quy tắc cộng.
2. Hoán vị
- một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp n phần tử đó.
- số hoán vị của n phần tử là: [tex]P_n=n![/tex]
* Hoán vị lặp:
- nếu nhóm n phần tử chỉ gồm k loại phần tử khác nhau, loại phần tử thứ i có [tex]m_1[/tex] phần tử trong n phần tử, [tex]\sum m_i=n[/tex], và các phần tử cùng loại không phân biệt nhau. khi đó là có hoán vị lặp và số hoán vị lặp được tính:
[tex]P_n=\frac{n!}{m_1!...m_k!}[/tex]
* ví dụ: số các số tự nhiên gồm 7 chữ số trong đó có 3 chữ số 1, 2 chữ số 2 và 2 chữ số 3 là là số hóan vị của các phần tử 1,1,1,2,2,3,3. ta có:
[tex]\frac{7!}{3!.2!.2!}=210[/tex] số
3. Chỉnh hợp
- một chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau là một nhóm gồm k phần tử khác nhau được lấy từ n phần tử đó và được sắp xếp theo một thứ tự nhất định.
- số chỉnh hợp chập k của n phần tử: [tex]A_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!}[/tex]
* Chỉnh hợp lặp
- khi k phần tử lấy ra có sự trùng lặp nhưng vẫn có thứ tự thì ta có chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. số chỉnh hợp lặp được tính bởi công thức: [tex]\overline{A}_{n}^{k}=n^k[/tex]
* ví dụ: Biển đăng kí ô tô có 6 chữ số và 2 chữ cái đầu tiên trong 26 chữ cái (không dùng chữ O và I ). Hỏi số ô tô được đăng kí nhiều nhất là bao nhiêu?
Gọi X là tập hợp các chữ cái dùng trong bảng đăng kí, suy ra X có 24 phần tử ( vì không dùng O và I ). Vì vậy ta có [tex]\overline{A}_{24}^{2}=24^2[/tex] cách chọn cho hai chữ cái đầu tiên. Gọi Y là tập hợp các chữ số dùng trong bảng đăng kí, suy ra Y có 10 phần tử. Vì vậy có [tex]\overline{A}_{10}^{6}=10^6[/tex] cách chọn cho 6 chữ số còn lại. Do đó có tất cả [tex]10^6.24^2[/tex] biển số.
4. Tổ hợp
- một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một nhóm gồm k phần tử khác nhau được lấy từ n phần tử đó, thứ tự không quan trọng.
[tex]C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex]
* chú ý: [tex]C_{n}^{0}=1[/tex]
II. Xác suất
1. định nghĩa xác suất
- giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu [tex]\Omega[/tex] chỉ có hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. ta gọi tỉ số [tex]\frac{n(A)}{n(\Omega )}[/tex] được gọi là xác suất của biến cố A.
- kí hiệu: [tex]P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega) }[/tex]
-với n(A) là số phần tử của A, hay số kết quả thuận lợi cho A, [tex]n(\Omega)[/tex] là số phần tử của [tex]\Omega[/tex]
2. Tính chất của xác suất
1. Quy tắc đếm
a. Quy tắc nhân:
Nếu một công việc nào đó phải hoàn thành qua n giai đoạn liên tiếp, trong đó:
Giai đoạn 1 có [tex]m_1[/tex] cách thực hiện
Giai đoạn 2 có [tex]m_2[/tex] cách thực hiện
…. ………..
Giai đoạn n có mn cách thực hiện
Khi đó, có: [tex]m_1.m_2...m_n[/tex] cách để hoàn thành công việc đã cho.
b. Quy tắc cộng:
Nếu một công việc nào nó có thể thực hiện theo n hướng khác nhau, trong đó:
Hướng thứ 1 có [tex]m_1[/tex] cách thực hiện
Hướng thứ 2 có [tex]m_2[/tex] cách thực hiện
…. ………..
Hướng thứ n có mn cách thực hiện
Khi đó, có: [tex]m_1+m_2+...+m_n[/tex] cách để hoàn thành công việc đã cho.
Nhận xét: Từ định nghĩa của quy tắc cộng và quy tắc nhân trên, ta thấy rằng:
- Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta không thể hoàn thành được công việc (không có kết quả) thì lúc đó ta cần phải sử dụng quy tắc nhân.
- Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà ta vẫn có thể hoàn thành được công việc (có kết quả) thì lúc đó ta sử dụng quy tắc cộng.
2. Hoán vị
- một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp n phần tử đó.
- số hoán vị của n phần tử là: [tex]P_n=n![/tex]
* Hoán vị lặp:
- nếu nhóm n phần tử chỉ gồm k loại phần tử khác nhau, loại phần tử thứ i có [tex]m_1[/tex] phần tử trong n phần tử, [tex]\sum m_i=n[/tex], và các phần tử cùng loại không phân biệt nhau. khi đó là có hoán vị lặp và số hoán vị lặp được tính:
[tex]P_n=\frac{n!}{m_1!...m_k!}[/tex]
* ví dụ: số các số tự nhiên gồm 7 chữ số trong đó có 3 chữ số 1, 2 chữ số 2 và 2 chữ số 3 là là số hóan vị của các phần tử 1,1,1,2,2,3,3. ta có:
[tex]\frac{7!}{3!.2!.2!}=210[/tex] số
3. Chỉnh hợp
- một chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau là một nhóm gồm k phần tử khác nhau được lấy từ n phần tử đó và được sắp xếp theo một thứ tự nhất định.
- số chỉnh hợp chập k của n phần tử: [tex]A_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!}[/tex]
* Chỉnh hợp lặp
- khi k phần tử lấy ra có sự trùng lặp nhưng vẫn có thứ tự thì ta có chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. số chỉnh hợp lặp được tính bởi công thức: [tex]\overline{A}_{n}^{k}=n^k[/tex]
* ví dụ: Biển đăng kí ô tô có 6 chữ số và 2 chữ cái đầu tiên trong 26 chữ cái (không dùng chữ O và I ). Hỏi số ô tô được đăng kí nhiều nhất là bao nhiêu?
Gọi X là tập hợp các chữ cái dùng trong bảng đăng kí, suy ra X có 24 phần tử ( vì không dùng O và I ). Vì vậy ta có [tex]\overline{A}_{24}^{2}=24^2[/tex] cách chọn cho hai chữ cái đầu tiên. Gọi Y là tập hợp các chữ số dùng trong bảng đăng kí, suy ra Y có 10 phần tử. Vì vậy có [tex]\overline{A}_{10}^{6}=10^6[/tex] cách chọn cho 6 chữ số còn lại. Do đó có tất cả [tex]10^6.24^2[/tex] biển số.
4. Tổ hợp
- một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một nhóm gồm k phần tử khác nhau được lấy từ n phần tử đó, thứ tự không quan trọng.
[tex]C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex]
* chú ý: [tex]C_{n}^{0}=1[/tex]
II. Xác suất
1. định nghĩa xác suất
- giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử với không gian mẫu [tex]\Omega[/tex] chỉ có hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. ta gọi tỉ số [tex]\frac{n(A)}{n(\Omega )}[/tex] được gọi là xác suất của biến cố A.
- kí hiệu: [tex]P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega) }[/tex]
-với n(A) là số phần tử của A, hay số kết quả thuận lợi cho A, [tex]n(\Omega)[/tex] là số phần tử của [tex]\Omega[/tex]
2. Tính chất của xác suất
- [tex]P(\Omega )=1; P(\varnothing )=0;0\leq P(A)\leq 1[/tex] với mọi biến cố A
- [tex]P(\overline{A})=1-P(A)[/tex] với mọi biến cố A
- nếu A và B là 2 biến cố xung khắc cùng liên quan đến phép thử thì: P(A∪B) = P(A) + P(B)
- với A và B là 2 biến cố bất kì thì: P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)
