giả sử a, b, c đều không chia hết cho 3
a³+b³+c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
<=> a³+b³+c³ - 3abc = (a+b+c)[a(a-b) + b(b-c) + c(c-a)] (*)
do a, b, c không chia hết cho 3 nên chia 3 có số dư là -1 hoặc 1
vậy có ít nhất 2 số có cùng số dư
* nếu a, b, c chia 3 có cùng số dư (là 1 hoặc -1)
=> a+b+c chia hết cho 3, (a-b), (b-c), (c-a) chia hết cho 3
=> (a+b+c)[a(a-b) + b(b-c) + c(c-a)] chia hết cho 9
thấy 3abc chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9
do đó từ (*) ta phải có a³+b³+c³ không chia hết cho 9
* nếu có đúng 2 số có cùng số dư khi chia cho 3, giả sử a và b có cùng số dư khi chia cho 3
=> b+c chia hết cho 3 (vì b và c có số dư là -1 và 1 hoặc ngược lại)
=> a+b+c không chia hết cho 3
(a-b) chia hết cho 3 => a(a-b) chia hết cho 3
b² và c² chia 3 đều dư 1
-bc và -ac chia 3 đều dư 1
=> b(b-c) + c(c-a) = b²+c² - bc - ca chia 3 dư 1
=> (a+b+c)[a(a-b) + b(b-c) + c(c-a)] không chia hết cho 3
mà 3abc chia hết cho 3 nên từ (*) => a³+b³+c³ không chia hết cho 3
=> a³+b³+c³ không chia hết cho 9
tóm lại trong mọi trường hợp của phản chứng đều => a³+b³+c³ không chia hết cho 9
mâu thuẩn với giả thiết
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
