Bài 3
3x-5y=8
Các điểm thuộc đường thẳng 3x-5y có tọa độ nguyên nằm giữa đường thẳng y=0 và y=10 là $(x_0, \ y_0)$
=> 0<$y_0$<10 (1)
Mà 8 chia 3 dư 2, 3$x_0$ chia hết cho 3 => 5$y_0$ chia 3 dư 1 <=> $y_0$ chia 3 dư 2 ($x_0, \ y_0$ nguyên)(2)
Từ (1) và (2) có $y_0 \in {2, \ 5, \ 8}$
$y_0$=2 <=> $x_0=6$
$y_0$=5 <=> $x_0=11$
$y_0$=8 <=> $x_0=16$
Vậy các điểm thỏa mãn là (6,2), (11, 5), (16, 8)
Bài 5
HOMF là hình chữ nhật (đề bài) => OH=FM=11cm, OM=HF=5cm (tính chất hình chữ nhật)
Có $OM=\dfrac{AH}{2}$
Chứng minh : $OM=\dfrac{AH}{2}$
Kẻ đường kính AD của (O)<=> $\widehat{ACD}=\widehat{ABD}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) <=> $AC \perp CD, \ AB \perp BD$ (1)
Mà $BH \perp AC, \ CH \perp AB$(H là trực tâm tam giác ABC) (2)
Từ (1), (2) có BH//CD, BD//CH (quan hệ từ vuông góc đến //)
<=> BDCH là hình bình hành (định nghĩa hình bình hành)
=> HD, BC đi qua trung điểm mỗi đường (tính chất hbh) (3)
Mà M là trung điểm BC (4)
Từ (3), (4) có M là trung điểm DH
Xét tam giác AHD có M là trung điểm HD (cmt), O là trung điểm AD (AO=OD=R) <=> OM là đường trung bình của tam giác AHD => OM=$\dfrac{AH}{2}$ (đpcm)
Suy ra AH=2OM=10cm
BH giao AC tại E
Xét $\Delta$ AHE và $\Delta $ BHF
$\widehat{AHE}=\widehat{BHF} $(đối đỉnh)
$\widehat{HFB}=\widehat{HEA}=90^o$
=> $\Delta$ AHE ~ $\Delta $ BHF
=> $\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{HE}{HF}$ (cặp góc tương ứng)
=> AH.HF=BH.HE <=> 10.5=50=BH.HE
X ét $\Delta BHF$ và $\Delta BCE$ có
Chung $\widehat{EBC}$
$\widehat{BFH}=\widehat{BEC}=90^o$
=> $\Delta BHF$ ~ $\Delta BCE$ (g.g)
=> $\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BF}{BE}$ (cặp góc tương ứng)
=> BH.BE=BF.BC <=> BH^2+BH.HE=BF.2BM=BF.2(BF+FM) (M là trung điểm BC nên BC=2BM) (5)
Mà BH.HE=50, FM=11 (6)
Xét tam giác BHF có $\widehat{HFB}=90^o <=> HF^2+BF^2=BH^2$ (định lý pytago) (7)
Từ (5), (6), (7) có
$BF^2+5^2+50=2BF(BF+11) <=> BF^2+22BF-75=0 <=> (BF-3)(BF+25)=0$
BF>0 => BF+25>0
Suy ra BF-3=0 <=> BF=3 cm
BC=2(BF+FM)=2.(3+11)=28cm
Vậy BC=28 cm
Bài 6
$\sqrt{2}.x^2+x-1=0 <=> \sqrt{2}.x^2=1-x \\ \begin{cases} 1-x \ge 0 \\ 2.x^4=x^2-2x+1 \end{cases} $
Vì a là nghiệm dương của phương trình trên nên $\begin{cases} 2a^4=a^2-2a+1 \\ 0<a \le 1 \end{cases}$
$\sqrt{2(2.a^4-2a+3)}=\sqrt{2(a^2-2a+1-2a+3)}=\sqrt{2}.\sqrt{(a-2)^2}=\sqrt{2}.|a-2|=\sqrt{2}.(2-a) >0 $ (a$\le$1 <2 <=> 2-a>0) (1)
$B=\dfrac{2a-3}{\sqrt{2(2.a^4-2a+3)}+2a^2}=\dfrac{(\sqrt{2(2.a^4-2a+3)}+2a^2)(\sqrt{2(2.a^4-2a+3)}-2a^2)}{2.(\sqrt{2(2.a^4-2a+3)}+2a^2)}=\dfrac{\sqrt{2(2.a^4-2a+3)}-2a^2}{2}$ (2)
Từ (1), (2) có $B= \dfrac{\sqrt{2}.(2-a)-2a^2}{2}=\dfrac{2.\sqrt{2} - \sqrt{2}. (\sqrt{2}.a^2+a)}{2}=\dfrac{2.\sqrt{2} - \sqrt{2}. 1}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
