Luyện tập làm câu cuối của đề thi

[bach_nien_hoa]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:Gọi [TEX]y_1,y_2[/TEX] là nghiệm của PT [TEX]y^2 +3y +1 =0[/TEX].Tìm p và q sao cho [TEX]x^2 +px +q =0[/TEX] có hai nghiệm là [TEX]x_1=y_1^2+2y_2; x_2=y_2^2+2y_1[/TEX].

Bài 2:Cho PT [TEX]ax^2 +bx +c=0[/TEX](a khác 0) có hai nghiệm [TEX]x_1,x_2[/TEX] thỏa mãn [TEX]ax_1 +bx_2 +c = 0[/TEX]
Tính M=[TEX]a^2c +ac^2 +b^3 - 3abc[/TEX].

Bài 3:Cho các số dương x,y,z thỏa mãn [TEX]x^3 +y^3 +z^3=1[/TEX].
CMR: [TEX]\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+ \frac{z^2}{\sqrt{1- z^2}}\geq 2[/TEX]

 

[letsmile519]

1)

$\left\{\begin{matrix}
y_1+y_2=-3 & \\
y_1.y_2=1 &
\end{matrix}\right.$

mà $\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2=y_1^2+y_2^2+2(y_1+y_2) & \\
x_1.x_2=y_1^2.y_2^2+2(y_1^3+y_2^3)+4y_1.y_2 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2=7+2(-3) & \\
x_1.x_2=5+2(y_1+y_2)(y_1^2+y_2^2-y_1y_2)&
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2=1 & \\
x_1.x_2=-31&
\end{matrix}\right.$

Từ đây=> p=-1;q=-31

 

[soicon_boy_9x]

Bài 3:Bài này không xảy ra dấu $"="$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

$\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-
z^2}}=\dfrac{x^6}{x^4\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^6}{y^4\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^6}
{z^4\sqrt{1-z^2}} \geq \dfrac{(x^3+y^3+z^3)^2}{x^4\sqrt{1-x^2}+y^4\sqrt{1-
y^2}+z^4\sqrt{1-z^2}}$

Lại có: $x^4\sqrt{1-x^2}=x^3.x.\sqrt{1-x^2} \leq x^3.\dfrac{x^2+1-x^2}
{2}=\dfrac{x^3}{2}$

Tương tự với $y;z$ rồi cộng từng vế ta được:

$x^4\sqrt{1-x^2}+y^4\sqrt{1-y^2}+z^4\sqrt{1-z^2} \leq \dfrac{x^3+y^3+z^3}
{2}=\dfrac{1}{2}$

$\leftrightarrow \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}
{\sqrt{1-z^2}} \geq \dfrac{(x^3+y^3+z^3)^2}{0,5}=2$

Dấu $"="$ không xảy ra

 

[eye_smile]

2,Ta có:
$a{x_2^2}+bx_2+c=0$
và $a.x_1+b.x_2+c=0$ (1)
\Rightarrow $a.{x_2^2}=a.x_1$
\Leftrightarrow $x_1={x_2^2}$
Ta có: $x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}$
\Leftrightarrow $ax_1+ax_2+b=0$ (2)
Lấy (2) trừ (1), ta đc:
$x_2(a-b)=c-b$
%%- $a=b$ \Rightarrow $a=b=c$
Thay vào đc M=0
%%- $a$ khác $b$
\Rightarrow $x_2=\dfrac{c-b}{a-b}$
Thay vào (1), đc:
$x_1=\dfrac{{b^2}-ac}{a(a-b)}$
Ta có: $x_1={x_2^2}$
\Leftrightarrow $\dfrac{{b^2}-ac}{a(a-b)}={(\dfrac{c-b}{a-b})^2}$
\Leftrightarrow $({b^2}-ac){(a-b)^2}=a(a-b){(c-b)^2}$
\Leftrightarrow $({b^2}-ac)(a-b)=a{(c-b)^2}$
\Leftrightarrow $a{c^2}+{a^2}c+{b^3}-3abc=0$
\Leftrightarrow M=0


KL:M=0

 

[congchuaanhsang]

Bài 3:Bài này không xảy ra dấu $"="$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

$\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-
z^2}}=\dfrac{x^6}{x^4\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^6}{y^4\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^6}
{z^4\sqrt{1-z^2}} \geq \dfrac{(x^3+y^3+z^3)^2}{x^4\sqrt{1-x^2}+y^4\sqrt{1-
y^2}+z^4\sqrt{1-z^2}}$

Lại có: $x^4\sqrt{1-x^2}=x^3.x.\sqrt{1-x^2} \leq x^3.\dfrac{x^2+1-x^2}
{2}=\dfrac{x^3}{2}$

Tương tự với $y;z$ rồi cộng từng vế ta được:

$x^4\sqrt{1-x^2}+y^4\sqrt{1-y^2}+z^4\sqrt{1-z^2} \leq \dfrac{x^3+y^3+z^3}
{2}=\dfrac{1}{2}$

$\leftrightarrow \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}
{\sqrt{1-z^2}} \geq \dfrac{(x^3+y^3+z^3)^2}{0,5}=2$

Dấu $"="$ không xảy ra

Cách khác:
$\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2(1-x^2)}}$ \geq $\dfrac{x^3}{\dfrac{1}{2}}=2x^3$

Tương tự $\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}$ \geq $2y^3$

$\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}$ \geq $2z^3$

Cộng lại được VT \geq $2(x^3+y^3+z^3)=2$