Cho tam giác ABC ko tù, thoả mãn điều kiện
Cos2A + 2căn2 cosB + 2căn2 cosC = 3
tính 3 góc của tam giác.
[TEX]\begin{array}{l}\cos 2A + 2\sqrt 2 \left( {\cos B + \cos C} \right) = 3 \\ {\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C \\ = \frac{{1 + \cos 2A}}{2} + \frac{{1 + \cos 2B}}{2} + {\cos ^2}C \\ = 1 + \frac{1}{2}\left( {\cos 2A + \cos 2B} \right) + {\cos ^2}C \\ = 1 + \cos \left( {A + B} \right)\cos \left( {A - B} \right) + {\cos ^2}C \\ = 1 - \cos C\cos \left( {A - B} \right) - \cos C\cos \left( {A + B} \right) \\ = 1 - \cos C\left[ {\cos \left( {A - B} \right) + \cos \left( {A + B} \right)} \right] \\ = 1 - 2\cos A \cos B \cos C \\ \Rightarrow {\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = 1 - 2\cos A \cos B \cos C \\ \end{array}[/TEX]
Đặt
[TEX]\begin{array}{l}a = \cos A \\ b = \cos B \\ c = \cos C \\ 2{a^2} + 2\sqrt 2 \left( {b + c} \right) = 4 \\ {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1 - 2abc \le 1 \\ 1 - {b^2} - {c^2} \ge {a^2} \\ 2{a^2} + 2\sqrt 2 \left( {b + c} \right) \le 2\left( {1 - {b^2} - {c^2}} \right) + 2\sqrt 2 \left( {b + c} \right) \\ 2\left( {1 - {b^2} - {c^2}} \right) + 2\sqrt 2 \left( {b + c} \right) \le 4 \\ \Leftrightarrow 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + 2 \ge 2\sqrt 2 \left( {b + c} \right) \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 b - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt 2 c - 1} \right)^2} \ge 0 \\ a = 0,b = c = \frac{1}{2} \Leftrightarrow A = {90^o};B = C = {45^o} \\ \end{array}[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn