lượng giác ngoại thương nè . khó :( .

[thuytrangxx]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

gọi G là trọng tâm tam giác ABC
chứng minh : cotg(góc GAB) + cotg(góc GBC) + cotg(góc GCA) = 3(a^2+b^2+c^2)/4S

 

[thong1990nd]

gọi G là trọng tâm tam giác ABC
chứng minh : cotg(góc GAB) + cotg(góc GBC) + cotg(góc GCA) = 3(a^2+b^2+c^2)/4S

cách thủ công
Xét tam giác [TEX]ABC[/TEX] có [TEX]BC=a,AC=b,AB=c[/TEX]: Gọi I là trung điểm của BC
gọi [TEX]S_{ABC}[/TEX] là [TEX]S[/TEX]
\Rightarrow [TEX]S_{ABI}=\frac{1}{2}S[/TEX] và [TEX]AI^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}[/TEX]
có [TEX]cos{GAB}=\frac{c^2+AI^2-BI^2}{2c.AI}=\frac{3c^2+b^2-a^2}{4c\sqrt[]{\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}}[/TEX]
[TEX]S=2S_{ABI}=AB.AI.sin{GAB}=c\sqrt[]{\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}.sin{GAB}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]sin{GAB}=\frac{S}{c.\sqrt[]{\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]cotg{GAB}=\frac{cos{GAB}}{sin{GAB}}=\frac{3c^2+b^2-a^2}{4S}[/TEX] [TEX](1)[/TEX]
tương tự [TEX]cotg{GBC}=\frac{3a^2+c^2-b^2}{4S}[/TEX] [TEX](2)[/TEX]
[TEX]cotg{GCA}=\frac{3b^2+a^2-c^2}{4S}[/TEX] [TEX](3)[/TEX]
cộng [TEX](1),(2),(3)[/TEX] có đpcm