Lượng giác khó !!

[pqnga]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có :

[TEX]\sin(\frac{\pi - A}{4})\sin(\frac{\pi - B}{4})\sin(\frac{\pi - C}{4}) \geq \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}[/TEX]

 

[hot_spring]

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có :

[TEX]\sin(\frac{\pi - A}{4})\sin(\frac{\pi - B}{4})\sin(\frac{\pi - C}{4}) \geq \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}[/TEX]

BĐT [TEX]\Leftrightarrow sin(\frac{B+C}{4})sin(\frac{C+A}{4})sin(\frac{A+B}{4}) \geq sin{\frac{A}2} sin{\frac{B}2} sin{\frac{C}2}[/TEX]

Ta sẽ CM [TEX]sin{\frac{A}2} sin{\frac{B}2} \leq sin^2(\frac{A+B}{4})[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac12 cos{\frac{A-B}2} -\frac12 cos{\frac{A+B}2} \leq \frac12 -\frac12 cos{\frac{A+B}2} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos{\frac{A-B}2}\leq 1 [/TEX]

BĐT cuối hiển nhiên đúng. Do vậy BĐT phụ trên cũng đúng.
Từ đó ta suy ra:

[TEX]sin{\frac{B}2} sin{\frac{C}2} \leq sin^2(\frac{B+C}{4})[/TEX]

[TEX]sin{\frac{C}2} sin{\frac{A}2} \leq sin^2(\frac{C+A}{4})[/TEX]

Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có:

[TEX]sin^2(\frac{A}2) sin^2(\frac{B}2) sin^2(\frac{C}2) \leq sin^2(\frac{B+C}{4})sin^2(\frac{C+A}{4}) sin^2(\frac{A+B}{4})[/TEX]

Khai căn 2 vế ta suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi A=B=C