lượng giác khó

[baoden2012]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng
Nếu [TEX]cos2A + cos2B + cos2C \geq - 1[/TEX]
thì [TEX]sinA+sinB + sinC \leq 1+ \sqrt{2}[/TEX]

 

[truongduong9083]

Chào bạn

Từ giả thiết suy ra
[TEX]cos2A+cos2B+cos2x+1\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2cos(A+B)cos(A-B)+2cos^2C \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow -2cosC.cos(A-B)+ 2cos^2C \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow cosC[cos(A-B) - cos(A+B)]\leq 0[/TEX]
[TEX] 2cosA.cosB.cosC \leq 0[/TEX]
từ hệ thức này suy ra trong tam giác có 1 góc lớn hoặc bằng [TEX]90^o[/TEX]
Giả sử [TEX]A \geq 90^o \Rightarrow CosA \leq 0 \Rightarrow a^2 \geq b^2+c^2[/TEX]
Ta có
[TEX](b+c)^2 \leq 2(b^2+c^2) = 2a^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow b+c \leq a\sqrt{2} \Rightarrow a+b+c \leq a(1+\sqrt{2}) \Rightarrow sinB+sinC \leq (1+\sqrt{2})sinA[/TEX]
[TEX]\Rightarrow sinA+sinB+sinC \leq (1+\sqrt{2})sinA \leq 1+\sqrt{2}[/TEX]
dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC vuông cân tại A