chứng minh
[TEX]4.cos36 + cot7,5= 1 + \sqrt {2} + \sqrt {3} + \ sqrt {4}+ \sqrt {5}+ \sqrt {6}[/TEX]
đơn vị các góc tính bằng độ nhe các bạn.
Ta có :
[TEX]cos 36 = sin 54 \\ \Leftrightarrow 1 - 2 sin^2 18 = 3 sin 18 - 4 sin^3 18 \\ \Leftrightarrow 4 sin^3\ 18 - 2 sin^2\ 18 - 3 sin\ 18 + 1 = 0[/TEX]
[TEX]t = sin\ 18 \Rightarrow 0<t<1[/TEX]
[TEX]4t^3 - 2t^2 - 3 t + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow ( t -1)( 4t^2 + 2t - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ t = 1\ (loai) \\ t = \frac{-1-\sqrt{5}}{4} \ (loai) \\ t = \frac{-1 +\sqrt{5}}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow sin\ 18 =\frac{-1 +\sqrt{5}}{4} [/TEX]
[TEX]cos\ 36 = 1 - 2 sin^2 \ 18 = \frac{1+\sqrt{5}}{4} [/TEX]
Do đó ta cần chứng minh :
[TEX]cot\ 7,5 = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{6}[/TEX]
Ta để ý công thức sau :
[TEX]\red sin\ 2x = \frac{2 cot\ x}{cot^2\ x+1} [/TEX]
[TEX]1- 2 sin^2\ 15 = cos 30 \\ \Rightarrow sin\ 15 = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} (do\ sin\ 15>0) \\ \Leftrightarrow sin\15 = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{ 2cot\ 15}{cot^2\ 15\ +\ 1} = \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} [/TEX]
[TEX]a = cot\ 15 \\ \Rightarrow a^2 - 2 ( \sqrt{6}+\sqrt{2} ) + 1 = 0 \\ \Delta' = 8 + 4 \sqrt{3} - 1 = 7 + 4 \sqrt{3} = ( 2 + \sqrt{3})^2 \\ \Rightarrow \left[ a = \sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{4} (loai\ do\ a> cot\ 45>1) \\ a = \sqrt{6} +\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} [/TEX]
Ta có điều phải chứng minh.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn