Giả sử 4 số thực cho trước là [TEX]x_1,x_2,x_3,x_4[/TEX]. Đặt [TEX](x_1,x_2,x_3,x_4)=(\tan a_1,\tan b_1,\tan c_1,\tan d_1) (a_1,a_2,a_3,a_4 \in [0,\pi])[/TEX]
Khi đó, xét [TEX]f(x,y)=\frac{x-y}{1+xy}[/TEX] thì [TEX]f(x_1,x_2)=tan(a_1-a_2)[/TEX], tương tự với các số khác.
Mà [TEX]a_1,a_2,a_3,a_4 \in [0,\pi][/TEX] nên [TEX]|a_1-a_2| \in [0,\pi][/TEX]
Không mất tính tổng quát, giả sử [TEX]0 \leq a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \leq \pi[/TEX]
Nếu tồn tại 2 số [TEX]a_i,a_j[/TEX] sao cho [TEX]|a_i-a_j| \leq \frac{\pi}{4}[/TEX] thì [TEX]\tan(|a_i-a_j|) \in [0,1][/TEX]
Khi đó [TEX]a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3 > \frac{\pi}{4} \Rightarrow a_4-a_1 > \frac{3\pi}{4} \Rightarrow -\pi< a_1-a_4 < -\frac{3\pi}{4} \Rightarrow \tan(a_1-a_4) \in [0,1][/TEX]
Vậy với mọi trường hợp thì ta luôn chọn được 2 số sao cho [TEX]\tan(a_i-a_j) \in [0,1][/TEX]. Từ đó ta chọn được [TEX]x_i,x_j[/TEX] thỏa mãn.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
