[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Lượng giác là một dạng mà chúng ta đã được làm quen từ khi mới lớp 9 10. Vậy, lượng giác dùng để làm gì. nó có giúp công việc giải toán của chúng ta dễ dàng hơn? Bài này sẽ làm rõ hơn về lượng giác ở trong bài này
Chúng ta bắt đầu nào
Chúng ta bắt đầu nào
I) Lượng Giác Hóa trong các bài giải phương trình
Rất nhiều bạn thắc mắt sẽ hỏi. Phương trình thì lượng giác làm gì. Nhẩm nghiệm hoặc bấm máy là được mà. vậy để mình ra cho các bạn 1 ví dụ đơn giản sau:
Giải phương trình:
[tex]x^{3}-3x+1=0[/tex]
Đây là một phương trình bậc 3 hết sức bình thường. Nhưng chúng ta không thể bấm máy hoặc nhẩm nghiệm được. Bởi vì pt có 3 nghiệm vô tỉ... Vậy chỉ còn cách dùng Cardano. Nhưng cách này cũng khá dài và công thức khó nhớ nên cũng không khả thi. Vậy chỉ còn cách dùng phương pháp lượng giác hóa thôi
Để ý thấy phương trình trên bị khuyết mất [tex]x^{2}[/tex] nên ta nhớ đến 1 công thức lượng giác sau:
[tex]sin3x=3sinx-4sin^{3}x[/tex]
Vậy nên phương trình trên sẽ biến đổi như sau
[tex]x^{3}-3x+1=0\Leftrightarrow 4.(\frac{x}{2})^{3}-3.(\frac{x}{2})+\frac{1}{2}=0[/tex]
đến đây ta đặt sint=[tex]\frac{x}{2}[/tex] ([tex]t\in [0,\pi )[/tex]
sẽ suy ra :
[tex]sin3t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3t=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 3t=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=\frac{\pi }{18}\\ t=\frac{13\pi }{18} \\ t=\frac{5\pi }{18} \\ t=\frac{17\pi }{18} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=sin\frac{\pi }{18}\\ x=sin\frac{13\pi }{18} \\ x=sin\frac{5\pi }{18} \\ x=sin\frac{17\pi }{18} \end{matrix}\right.[/tex]
vậy nên phương trình sẽ có 3 nghiệm trên ( vì [tex]sin\frac{13\pi }{18}= sin\frac{5\pi }{18}[/tex])
LƯU Ý:
nếu đặt sint phải chọn khoảng [tex]t\in [0,\pi )[/tex] (để đảm bảo 1 t tương đương với 1 và chỉ 1 ẩn x)
đặt cost thì [tex]t\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})[/tex]
đặt tan thì [tex]t\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})[/tex]
cot thì [tex]t\in (0,\pi)[/tex]
VD2:
[tex]4x^{3}+12x^{2}+9x+\frac{1}{2}=0[/tex]
Ở ví dụ này ta thấy xuất hiện bình phương của x vậy nên, để dùng lượng giác hóa ta sẽ biến đổi một chút thành hàng đẳng thức bậc 3 để làm mất x bình . Cụ thể như sau:
[tex]pt\Leftrightarrow 4(x+1)^{3}-3(x+1)-\frac{1}{2}=0[/tex]
Vậy là lại trở thành bài toán đơn giản rồi. Ta chỉ cần đặt x+1= sint là lại đâu vào đấy thôi
Một vài ví dụ cho các bạn tự giải:
1) [tex]\sqrt{\frac{1-x}{2}}-4x^{3}+3x=0[/tex]
2) [tex]x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}[/tex]
Giải phương trình:
[tex]x^{3}-3x+1=0[/tex]
Đây là một phương trình bậc 3 hết sức bình thường. Nhưng chúng ta không thể bấm máy hoặc nhẩm nghiệm được. Bởi vì pt có 3 nghiệm vô tỉ... Vậy chỉ còn cách dùng Cardano. Nhưng cách này cũng khá dài và công thức khó nhớ nên cũng không khả thi. Vậy chỉ còn cách dùng phương pháp lượng giác hóa thôi
Để ý thấy phương trình trên bị khuyết mất [tex]x^{2}[/tex] nên ta nhớ đến 1 công thức lượng giác sau:
[tex]sin3x=3sinx-4sin^{3}x[/tex]
Vậy nên phương trình trên sẽ biến đổi như sau
[tex]x^{3}-3x+1=0\Leftrightarrow 4.(\frac{x}{2})^{3}-3.(\frac{x}{2})+\frac{1}{2}=0[/tex]
đến đây ta đặt sint=[tex]\frac{x}{2}[/tex] ([tex]t\in [0,\pi )[/tex]
sẽ suy ra :
[tex]sin3t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3t=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 3t=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=\frac{\pi }{18}\\ t=\frac{13\pi }{18} \\ t=\frac{5\pi }{18} \\ t=\frac{17\pi }{18} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=sin\frac{\pi }{18}\\ x=sin\frac{13\pi }{18} \\ x=sin\frac{5\pi }{18} \\ x=sin\frac{17\pi }{18} \end{matrix}\right.[/tex]
vậy nên phương trình sẽ có 3 nghiệm trên ( vì [tex]sin\frac{13\pi }{18}= sin\frac{5\pi }{18}[/tex])
LƯU Ý:
nếu đặt sint phải chọn khoảng [tex]t\in [0,\pi )[/tex] (để đảm bảo 1 t tương đương với 1 và chỉ 1 ẩn x)
đặt cost thì [tex]t\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})[/tex]
đặt tan thì [tex]t\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})[/tex]
cot thì [tex]t\in (0,\pi)[/tex]
VD2:
[tex]4x^{3}+12x^{2}+9x+\frac{1}{2}=0[/tex]
Ở ví dụ này ta thấy xuất hiện bình phương của x vậy nên, để dùng lượng giác hóa ta sẽ biến đổi một chút thành hàng đẳng thức bậc 3 để làm mất x bình . Cụ thể như sau:
[tex]pt\Leftrightarrow 4(x+1)^{3}-3(x+1)-\frac{1}{2}=0[/tex]
Vậy là lại trở thành bài toán đơn giản rồi. Ta chỉ cần đặt x+1= sint là lại đâu vào đấy thôi
Một vài ví dụ cho các bạn tự giải:
1) [tex]\sqrt{\frac{1-x}{2}}-4x^{3}+3x=0[/tex]
2) [tex]x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}[/tex]
II) Lượng giác hóa với hệ phương trình
về cơ bản cũng khá giống với giải phuong trình.
ta xét các ví dụ sau:[tex]\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=4\\ x^{3}-3x+y^{3}-3y=\sqrt{2} \end{matrix}\right.[/tex]
phương trình đầu ta nghĩ ngay đến : [tex]sin^{2}x+cos^{2}x=1[/tex] vậy nên ta sẽ hướng đến cách đặt:
x=2sint và y=2cost . như vậy sẽ thỏa mãn phương trình 1. và nếu thay vào phuong trình 2, ta sẽ có
cos3t-sin3t=[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Quá dễ khi hoàn thành bước này rồi phải không ?
VD2: [tex]\left\{\begin{matrix} x=\frac{2y}{1-y^{2}}\\ y=\frac{2z}{1-z^{2}} \\z=\frac{2x}{1-x^{2}} \end{matrix}\right.[/tex]
Nhớ lại 1 công thức lượng giác của tan2x:
tan2x=[tex]\frac{2tanx}{1-tan^{2}x}[/tex]
vậy nếu chúng ta đặt y=tant. thì [tex]x=\frac{2y}{1-y^{2}}=tan2t[/tex]
[tex]z=\frac{2x}{1-x^{2}}=tan4x[/tex] . nên y=[tex]y=\frac{2z}{1-z^{2}}=tan8t[/tex]
vậy tan8t= tant . giải ra t thay vào tìm x,y,z quá dễ luôn rôi
Bạn nào có câu trả lời cho các bài tập trên hoặc phương pháp, cách làm khác cứ cmt vao đây nhé. Chúc các bạn học tốt ta xét các ví dụ sau:[tex]\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=4\\ x^{3}-3x+y^{3}-3y=\sqrt{2} \end{matrix}\right.[/tex]
phương trình đầu ta nghĩ ngay đến : [tex]sin^{2}x+cos^{2}x=1[/tex] vậy nên ta sẽ hướng đến cách đặt:
x=2sint và y=2cost . như vậy sẽ thỏa mãn phương trình 1. và nếu thay vào phuong trình 2, ta sẽ có
cos3t-sin3t=[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Quá dễ khi hoàn thành bước này rồi phải không ?
VD2: [tex]\left\{\begin{matrix} x=\frac{2y}{1-y^{2}}\\ y=\frac{2z}{1-z^{2}} \\z=\frac{2x}{1-x^{2}} \end{matrix}\right.[/tex]
Nhớ lại 1 công thức lượng giác của tan2x:
tan2x=[tex]\frac{2tanx}{1-tan^{2}x}[/tex]
vậy nếu chúng ta đặt y=tant. thì [tex]x=\frac{2y}{1-y^{2}}=tan2t[/tex]
[tex]z=\frac{2x}{1-x^{2}}=tan4x[/tex] . nên y=[tex]y=\frac{2z}{1-z^{2}}=tan8t[/tex]
vậy tan8t= tant . giải ra t thay vào tìm x,y,z quá dễ luôn rôi