Lượng giác _ chuyên đề !

kachia_17 · 9 Tháng chín 2008

Bài 1: Rút gọn các biểu thức lượng giác.

A: Lý thuyết :

I: Tính chất các cung liên quan đặc biệt.
1, Cung đối:

[tex]Cos(-x)=Cosx[/tex]
[tex]Sin(-x)=-Sinx[/tex]
[tex]tg(-x)=-tgx[/tex]
[tex]Cotg(-x)=-Cotgx[/tex]

2,Cung bù:

Sin([tex]\pi[/tex] –x)=Sinx
Cos([tex]\pi[/tex] –x)=-Cosx
[tex]tg(\pi-x)=-tgx[/tex]
[tex]Cotg(\pi-x)=-Cotgx[/tex]

3,Cung sai kém [tex] \pi[/tex]

[tex]tg(x+\pi)=tgx[/tex]
[tex]Cotg(x+\pi)=Cotgx[/tex]
[tex]Sin(x+\pi)=-Sinx[/tex]
[tex]Cos(x+\pi)=-Cosx[/tex]

4, Cung phụ:

[tex]Sin(\frac{\pi}{2}-x)=Cosx[/tex]
[tex]Cos(\frac{\pi}{2}-x)=Sinx[/tex]
[tex]tg(\frac{\pi}{2}-x)=Cotgx[/tex]
[tex]Cotg(\frac{\pi}{2}-x)=tgx[/tex]

5,Cung sai kém [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]

[tex]Cos(\frac{\pi}{2}+x)=-Sinx[/tex]
[tex]Sin(\frac{\pi}{2}+x)=Cosx[/tex]
[tex]tg(\frac{\pi}{2}+x)=-Cotgx[/tex]
[tex]Cotg(\frac{\pi}{2}+x)=-tgx[/tex]

II: Công thức lượng giác:

1, Công thức cộng:

[tex]Cos(a+b)=CosaCosb-SinaSinb[/tex]
[tex]Cos(a-b)=CosaCosb+SinaSinb[/tex]
[tex]Sin(a+b)=SinaCosb+SinbCosa[/tex]
[tex]Sin(a-b)=SinaCosb-SinbCosa[/tex]
[tex]tg(a+b)=\frac{tga+tgb}{1-tgatgb}[/tex]
[tex]Cotg(a+b)=\frac{tga-tgb}{1+tgatgb}[/tex]

2,Công thức nhân:
a,Nhân đôi:

[tex]Cos2a=Cos^2a-Sin^2a=2Cos^2a-1=1-2Sin^2a[/tex]
[tex]Sin2a=2SinaCosa[/tex]
[tex]tg2a=\frac{2tg^2a}{1-tg^2a}[/tex]

b,Từ công thức nhân đôi , ta suy ra công thức hạ bậc:

[tex]Cos^2a=\frac{1+Cos2a}{2}[/tex]
[tex]Sin^2a=\frac{1-Cos2a}{2}[/tex]
[tex]tg^2a=\frac{1-Cos2a}{1+Cos2a}[/tex]

c, Công thức nhân ba:

[tex]Cos3a=4Cos^3a-3Cosa[/tex]
[tex]Sin3a=-4Sin^3a+3Sina[/tex]

d.Biểu thức biến đổi [tex] Sina;Cosa;tga \text{ theo} t=tg{\frac{a}{2}}[/tex]:

[tex]Cosa=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/tex]
[tex]Sina=\frac{2t}{1+t^2}[/tex]
[tex]tga=\frac{2t}{1-t^2}[/tex]

3,Công thức biến đổi:
a, Biến đổi tổng hoặc hiệu thành tích :

[tex]Cosa+Cosb=2Cos{\frac{a+b}{2}}Cos{\frac{a-b}{2}}[/tex]
[tex]Cosa-Cosb=-2Sin{\frac{a+b}{2}}Sin{\frac{a-b}{2}}[/tex]
[tex]Sina+Sinb=2Sin{\frac{a+b}{2}}Cos{\frac{a-b}{2}}[/tex]
[tex]Sina-Sinb=2Cos{\frac{a+b}{2}}Sin{\frac{a-b}{2}}[/tex]
[tex]tga+tgb=\frac{Sin(a+b)}{CosaCosa}[/tex]
[tex] tga-tgb=\frac{Sin(a-b)}{CosaCosa}[/tex]
[tex]Cotga+Cotgb=\frac{Sin(a+b)}{SinaSinb}[/tex]
[tex]Cotga-Cotgb=\frac{Sin(b-a)}{SinaSinb}[/tex]

b,Biến đổi tích thành tổng hoặc hiệu:

[tex]CosaCosb=\frac12 [Cos(a+b)+Cos(a-b)][/tex]
[tex] SinaSinb=\frac12 [Cos(a-b)-Cos(a+b)][/tex]
[tex] SinaCosb=\frac12 [Sin(a+b)+Sin(a-b)][/tex]

Bài 2: Tính tổng và tích một số hữu hạn các hàm số lượng giác.

A:Lý thuyết:
Thường n số hạng trong biểu thức tổng hoặc tích số được xếp theo một thứ tự. Phương pháp giải tổng quát như sau:

Trường hợp biểu thức ở dạng tổng số.
[tex]S_n=u_1+u_2+u_3+[/tex]…[tex]u_n[/tex]
Ta biến đổi mỗi số hạng của tổng sao cho thành dạng hiệu số để khi cộng lại chúng khử được lẫn nhau .
[tex]u_1=a_1-a_2\\u_2=a_2-a_3\\u_3=a_3-a_4\\[/tex]
...............
[tex]\\u_n=a_n-a_{n+1}\\ \Rightarrow\ S_n=u_1+u_2+u_3+[/tex]…[tex]+u_n =a_1-a_{n+1}[/tex]
Trường hợp biểu thức ở dạng tích số:
[tex]P_n=u_1.u_2.u_3 [/tex]…[tex]u_n[/tex]
Ta biến đổi mỗi số hạng của tích thành dạng thương để khi nhân lại , chúng khử được lẫn nhau.
[tex] u_1=\frac{a_1}{a-2} \\ u_2=\frac{a_2}{a_3} \\ u_n=\frac{a_n}{a_{n+1}} \\ \Rightarrow\ P_n=\frac{a_1}{a_{n+1}}[/tex]

B: Bài tập:

Bài 1: Tính

[tex]A=Cosx+Cos2x+Cos3x[/tex]+…+[tex]Cosnx / (x\not= k2\pi)[/tex]
[tex]B=Sinx+Sin2x+Sin3x+[/tex]…[tex]Sinnx / (x\not= k2\pi)[/tex]
[tex]C=\frac{1}{4Cos^2{\frac x2}}+\frac{1}{4^2Cos^2{\frac{x}{2^2}}}+[/tex]…[tex]+\frac{1}{4^nCos^2{\frac{x}{2^n}}}[/tex]
[tex]D=\frac12 tg{\frac x2}+\frac{1}{2^2}tg{\frac{x}{2^2}}+[/tex]...[tex]+\frac{1}{2^n}tg{{x}{2^n}}}[/tex]
[tex]E=Cos{\frac x2}Cos{\frac{x}{2^2}}Cos{\frac{x}{2^3}}[/tex]…[tex]Cos{\frac{x}{2^n}}[/tex]
[tex]F=(1+\frac{1}{Cosx})(1+\frac{1}{Cos2x})[/tex]…[tex](1+\frac{1}{Cos{2^nx}})[/tex]

Đáp số:

[tex]A=\frac{Cos{\frac{(n+1)x}{2}}Sin{\frac{nx}{2}}}{Sin{\frac x2}}[/tex]
[tex]B=\frac{Sin{\frac{(n+1)x}{2}}Sin{\frac{nx}{2}}}{Sin{\frac x2}}[/tex]
[tex]C=\frac{1}{Sin^2x}-\frac{1}{4^nSin^2{\frac{x}{2^n}}}[/tex]
[tex]D=\frac{1}{2^n}Cotg{\frac{x}{2^n}}-Cotgx[/tex]
[tex]E=\frac{Sinx}{2^nSin{\frac{x}{2^n}}}[/tex]
[tex]F=\frac{tg{2^nx}}{tg{\frac x2}}[/tex]

Bài 3 : Phương trình lượng giác.

A.Lý thuyết :

I.Phương trình lượng giác cơ bản:Cho x là số đo bằng radian của cung ( góc) lượng giác : u,v là các biểu thức theo x ; k,m,n là các số nguyên.
Ta có các phương trình lượng giác cơ bản sau:

[tex]Cosu=Cosv \Leftrightarrow \lef[\begin{u=v =k2\pi}\\{u= -v +k2\pi}[/tex]
[tex]Sinu=Sinv \Leftrightarrow \Lef[\begin{u=v+k2\pi}\\{u=\pi-v+k2\pi}[/tex]
[tex]tgu=tgv \Leftrightarrow u=v+k\pi \ (u,v \not= \frac{\pi}{2}+m\pi)[/tex]
[tex]Cotgu=Cotgv \Leftrightarrow \ u=v+k\pi (u,v\not= n\pi)[/tex]
[tex]Sin u=0 \Leftrightarrow u=k\pi \ ,k\in Z[/tex]
[tex]Cosu=0 \Leftrightarrow u=\frac{\pi}{2}+k\pi \ ,k\in Z[/tex]

Chú ý:

Đối với phương trình có tang hoặc Cotg phải đặt điều kiện để tang hoặc Cotg có nghĩa
Để ý công thức cung liên kết.

II.Phương trình bậc nhất theo Sinu và Cosu ( u là một biểu thức theo x)

Dạng tổng quát

[tex] aSinu+bCosu=c \ ;(a,b,c\not=0)[/tex]

Cách giải 1: Phương pháp lượng giác

Nếu [tex] a\not=0[/tex] ta có phương trình [tex] Sinu + \frac ba Cosu=\frac ca[/tex]
Gọi [tex]\alpha [/tex] là một góc sao cho [tex] tg{\alpha}=\frac ba[/tex] thì phương trình đã cho viết thành :
[tex] Sinu + tg{\alpha}Cosu=\frac ca \Leftrightarrow \ Sin(u+\alpha)=\frac ca Cos{\alpha}[/tex]
Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
[tex]\mid \frac ca Cos{\alpha} \mid \le 1 \\ \Leftrightarrow \ \frac{c^2}{a^2} .Cos^2a \le 1 \\ \Leftrightarrow \ \frac{c^2}{a^2}\le1+tg^2{\alpha}\\ \Leftrightarrow \ \frac{c^2}{a^2}\1+\frac{b^2}{a^2} \\ \Leftrightarrow \ c^2\le a^2+b^2[/tex]
Với điều kiện trên ta đặt [tex]\frac ca Cos{\alpha}=Sin{\theta}[/tex] , ta sẽ có phương trình lượng giác cơ bản [tex] Sin{(u+\alpha)}=Sin{\theta}[/tex]
Ghi nhớ:
Phương trình aSinx + bCosx =c có nghiệm khi và chỉ khi
[tex] a^2 + b^2 \ge c^2[/tex]

Cách giải 2: Phương pháp đại số.

Nếu[tex]u\not= \pi+k2\pi[/tex] ( ta sẽ có [tex] b+c \not= 0[/tex] thì [tex] tg{\frac u2}[/tex] có nghĩa nên ta đặt [tex] t=tg{\frac u2}[/tex] ; phương trình đã cho viết thành:
[tex](b+c)t^2-2at+c-b=0[/tex]
Phương trình có nghiệm khi

[tex] \Delta =a^2-(c^2-b^2) \ge 0 \Leftrightarrow \ a^2+b^2 \ge 0[/tex]
Nếu b+c=0 ta sẽ giải trực tiếp phương trình.

III.Phương trình bậc hai theo Sinu và Cosu (u là một biểu thức theo x)

Dạng tổng quát

[tex]aSin^2u+bSinuCosu+cCos^2u=d[/tex]
Cách giải 1 : Theo công thức nhân hai:
Phương trình đã cho viết thành:
[tex]a\frac{1-Cos2u}{2}+b\frac{Sin2u}{2}+c\frac{1+Cos2u}{2}=d \\ \Leftrightarrow \ bSin2u+(c-a)Cos2u=2d-a-c[/tex]
Ta có phương trình bậc nhất đối với Sin và Cos
Cách giải 2:
Nếu [tex] u=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex] không thỏa mãn phương trình , ta chia 2 vế của phương trình cho [tex] Cos^2x \not=0[/tex], ta được phương trình bậc hai:
[tex] (a-d)tg^2u+btgu+c-d=0[/tex]

IV.Phương trình đối xứng của Sinx và Cosx

Dạng tổng quát

: a(Sinx+Cosx )+ bSinxCosx+c=0
Cách giải:
Đặt [tex] t=Sinx+ Cosx=\sqrt2 Sin(x+\frac{\pi}{4}}[/tex] ( điều kiện [tex]\mid t \mid \le \sqrt2[/tex])
Khi đó [tex] SinxCosx=\frac{t^2-1}{2} [/tex] , phương trình đã cho viết thành:
[tex] bt^2+2at+2c-b=0[/tex]
Giải phương trình bậc hai theo t và nhận nghiệm [tex] t_o[/tex] thích hợp, ta sẽ có phương trình:
[tex]Sinx+Cosx=\sqrt2 Sin(x+\frac{\pi}{4}}=t_o[/tex]
Chú ý
Nếu ta có phương trình : a(Sinx-Cosx) + bSinxCosx+c=0
Ta cũng đặt [tex] t=Sinx-Cosx=\sqrt2 Sin(x-\frac{\pi}{4}}[/tex] ( điều kiện [tex]\mid t \mid \le \sqrt2[/tex])

B.Bài tập:

Dạng 1: Phương trình lượng giác không có tham số.

Bài 1:Tìm các nghiệm [tex] x\in(\frac{\pi}{2};3\pi)[/tex] của phương trình:

[tex] Sin(2x+\frac{5\pi}{2})-3Cos(x-\frac{\pi}{7})=1+2Sinx[/tex]

Bài 2: Tìm các nghiệm [tex] x\in(0;\in2\pi)[/tex] của phương trình:

[tex]\frac{Sin3x-Sinx}{\sqrt{1-Cos2x}}=Sin2x+Cos2x[/tex]

Bài 3 :Giải các phương trình sau:

[tex]2Cosx-\mid Sinx \mid =1[/tex]
[tex]3Sin3x-\sqrt3 Cos9x=1+4Sin^3x[/tex]
[tex]Sin^2{2x}-Cos^2{8x}=Sin(\frac{17\pi}{2}+10x)[/tex]
[tex]2Cos^3x+Cos2x+Sinx=0[/tex]
[tex]\mid Sinx-Cosx \mid +4Sin2x=1[/tex]
[tex]Cosx+\frac{1}{Cosx}+Sinx+\frac{1}{Sinx}=\frac{10}{3}[/tex]
[tex]2Cos^2{\frac{3x}{5}}+1=3Cos{\frac{4x}{5}}[/tex]
[tex]\sqrt2(2Sinx-1)=4(Sinx-1)-Cos(2x+\frac{\pi}{4})[/tex]
[tex]3Cosx+4Sinx+\frac{6}{3Cosx+4Sinx+1}=6[/tex]
[tex]\sqrt{Sin^2x-2Sinx+2}=2Sinx-1[/tex]
[tex]tg^2x.tg^2{3x}tg{5x}=tg^2{2x}-tg^2{3x}+tg{5x}[/tex]
[tex]2Sin(3x+\frac{3\pi}{4})=\sqrt{1+8Sin2xCos^2x}[/tex]
[tex]\frac{1}{Cosx}+\frac{1}{Sin2x}=\frac{2}{Sin4x}[/tex]
[tex]\frac{3(Cos2x+Cotg2x)}{Cotg2x-Cos2x}-2Sin2x=2[/tex]
[tex]\frac{Sin^4{\frac x4}+Cos^4{\frac{x}{2}}}{1-Sinx}-tg^2xSinx=\frac{1+Sinx}{2}+tg^2x[/tex]
[tex]\sqrt{Cos2x}+\sqrt{1+Sin2x}=2\sqrt{Sinx+Cosx}[/tex]
[tex]\mid Cosx+2Sin2x-Cos3x \mid=1+2Sinx-Cos2x[/tex]
[tex]Sin^3x(1+Cotgx)+Cos^3x(1+tgx)=2\sqrt{SinxCosx}[/tex]

Chúc các bạn học tốt, sống tốt,luôn vui!

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Lượng giác _ chuyên đề !

kachia_17