K
kimxakiem2507
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
DẠNG 2 :TÍNH TỔNG CỦA MỘT KHAI TRIỂN[TEX](C_n^k)[/TEX]
+Đây là dạng bài dễ bắt gặp nhất và cũng khó khăn nhất và thướng kết hợp với dạng 1 (tìm được n từ dạng này và đưa lên tìm hệ số )
+Theo mình biết hiện tại chưa có một tài liệu tham khảo hay chuyên đề nào nói về phương pháp giải dạng bài này mà chỉ đơn giản đưa ra bài tập quen thuộc và giải bằng kinh nghiệm của người viết,làm cho các bạn cảm thấy rất khó khăn không biết vì sao lại như vậy mặc dủ biết là nó đúng.Sau chuyên đề này bạn sẽ thấy nó thật dễ thương làm sao và bạn cũng có thể ra đề bao nhiêu bài dạng này cũng được.
+ Phải ứng dụng nhị thức Newton để giải quyết (a,b có thể lấy bất kỳ miễn sau giải quyết được bài toán,ở đây mình đưa ra phương pháp sao cho dễ dàng nhất)
1) Cơ sở phân tích: Dựa trên số hạng tổng quát của khai triển,sau đó dùng khai triển bình thường,lấy đạo hàm hoặc nguyên hàm hoặc kết hợp chúng với nhau
bước 1:
Phải tìm ra số hạng tổng quát của khai triển :cái chỗ nào có k đấy,nếu không có thì ta dựa vào phần tử cuối cùng nhưng phải chú ý quan sát các phần tử khác xem có thêm phần tử [TEX]a^{n-k}[/TEX] hay không vì phần tử cuối cùng ứng với [TEX]k=n [/TEX]nên sẽ là [TEX]a^{n-n}=1 [/TEX]và bị bỏ qua
Sau đó ta xem phần tử cuối cùng ứng với k bằng mấy (thường là bằng luôn[TEX] n[/TEX]).Các thông số nào thay đổi thì phải viết theo[TEX] k,[/TEX],cố định từ đầu thì giữ nguyên.
Ví dụ
hần tử cuối cùng là [TEX]2^{2010-2010}.2010.2011C_{2010}^{2010}[/TEX] nghĩa là phần tử cuối cùng ứng với [TEX]k=2010[/TEX] vậy phần tử tổng quát sẽ là [TEX]2^{2010-k}.k(k+1)C_{2010}^k[/TEX] những chỗ là [TEX]2010 [/TEX] thì ta sẽ thấy cố định từ đầu đến cuối trong dãy
.
bước 2hân tích
[TEX](a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^ka^{n-k}b^k[/TEX]
Ta sẽ so sánh tương ứng phần tử tổng quát vừa tìm được với nhị thức ở trên
+++Tìm [TEX]a[/TEX]:cái nào mà có mũ là [TEX](n-k)[/TEX] thì nó là [TEX]a[/TEX],nếu không có thì [TEX]a=1[/TEX]
+++Tìm[TEX] b[/TEX]:nếu không sử dụng đạo hàm hay tích phân thì cái nào mà có mũ là [TEX]k[/TEX] thì nó là [TEX]b[/TEX] (lúc này ta chỉ việc ráp [TEX]a,b [/TEX]vừa tìm được rồi khai triển là ok) nếu không có thì [TEX]b=1[/TEX](ok luôn) Nếu sử dụng đạo hàm hoặc tích phân thì [TEX] b=x[/TEX] (cái này mới vui nè)
kinh nghiệm:
+nếu thấy dấu hiệu của đạo hàm ,tích phân thì [TEX]b =x[/TEX]
+Thấy dãy có dấu [TEX]+ -[/TEX] liên tục thì nên chọn b có dấu trừ(mục đích là để đổi dấu như đề cho)
+Thấy dãy cho [TEX]C_n^k[/TEX] mà [TEX]k[/TEX] chẵn không hoặc k lẻ không thì ta biết rằng sẽ lảm thêm một cái với b lấy thêm dấu - nữa rồi cộng hoặc trừ hai khai triển đó (mục đích là để còn lại chẵn không hoặc lẻ không như đề)
+Thấy có nhân cho con số nào đó thì khi làm xong ta nhân 2 vế cho nó là ok
Nhận xét :
A/ nếu [TEX]b=x[/TEX] thì sẽ có [TEX]x^k[/TEX] khi ta đạo hàm [TEX]1 [/TEX]lần sẽ là [TEX]kx^{k-1}[/TEX],đạo hàm [TEX]2 l[/TEX]ần sẽ là[TEX] k(k-1)x^{k-2}[/TEX]..
Vậy khi phát hiện STTQ có:[TEX] k[/TEX] thì đạo hàm khai triển [TEX]1[/TEX] lần và thế [TEX]x=[/TEX](cái nào có mũ[TEX] k-1[/TEX],không có thì [TEX]x=1[/TEX]).Có [TEX]k(k-1)[/TEX] thì đạo hàm 2 lần thay thay [TEX]x=[/TEX](cái nào có mũ [TEX]k-2[/TEX] không có thì [TEX]x=1[/TEX])...
B/nếu [TEX]b=x[/TEX] thì sẽ có [TEX]x^k [/TEX]lấy nguyên hàm sẽ là [TEX]\frac{1}{k+1}x^{k+1}[/TEX] vậy khi phát hiện có [TEX]\frac{1}{k+1}[/TEX] thì lập tức khai triển xong tính tích phân từ [TEX]a[/TEX] đến [TEX]b[/TEX] với [TEX]a,b[/TEX] là 2 cái mà có mũ [TEX](k+1)[/TEX]
Ví dụ :SHTQ có [TEX]3^{k+1}-2^{k+1}[/TEX] thì lấy tích phân từ [TEX]2[/TEX] đến [TEX]3[/TEX].SHTQ có [TEX]3^{k+1}-1[/TEX]
thì lấy từ [TEX]1[/TEX] đến [TEX]3 [/TEX] vì [TEX]1 [/TEX] là [TEX]1^{k+1}[/TEX].SHTQ có [TEX]3^{k+1}[/TEX] thì lấy từ [TEX]0[/TEX] đến [TEX]3[/TEX] vì [TEX]0[/TEX] là [TEX]0^{k+1}[/TEX].SHTQ có [TEX]\frac{1}{k+1}[/TEX] thì lấy tích phân từ [TEX]0 [/TEX] đến [TEX]1[/TEX]
Kết luận :Ta phải dựa vào số hạng tổng quát và đưa về những dấu hiệu như trên bằng cách tách ra và chia đa thức
VÍ DỤ :
SHTQ là [TEX]:4^{n-k}k(k-1)5^{k-2}C_n^k[/TEX] thì ta khai triển [TEX](4+x)^n[/TEX] sau đó đạo hàm [TEX]2[/TEX] lần và thay [TEX]x=5[/TEX]
SHTQ là [TEX]:3^{n-k}2^{k+1}\frac{1}{k+1}C_n^k[/TEX] thì ta khai triển [TEX](3+x)^n[/TEX] lấy tích phân từ [TEX] 0[/TEX] đến [TEX]2[/TEX]
SHTQ là :[TEX]3^{n-k}\frac{2k^2+k+3}{k+1}C_n^k=3^{n-k}(2k-1+\frac{4}{x+1})C_n^k=2.3^{n-k}kC_n^k-3^{n-k}C_n^k+\frac{4}{k+1}3^{n-k}C_n^k=2S_1-S_2+4S_3[/TEX]
[TEX]S_1[/TEX]: khai triển [TEX](3+x)^n[/TEX] xong đạo hàm rồi thay [TEX]x=1[/TEX]
[TEX]S_2[/TEX] :khai triền [TEX](3+1)^n[/TEX]
[TEX]S_3[/TEX]:khai triển [TEX](3+x)^n[/TEX] rồi lấy tích phân từ [TEX]0 [/TEX]đến [TEX]1[/TEX]
VÍ DỤ 1 :Tính tổng [TEX]S=2C_n^0+\frac{2^2}{2}C_n^1+\frac{2^3}{3}C_n^2+...+\frac{2^{n+1}}{n+1}C_n^n[/TEX]
Phân tích :SHTQ là [TEX]\frac{2^{k+1}}{k+1}C_n^k[/TEX] không có cái nào mũ [TEX](n-k)[/TEX] nên [TEX]a=1[/TEX],có [TEX]\frac{1}{k+1} [/TEX]nên sẽ lấy tích phân ,có [TEX]2^{k+1}[/TEX] vậy cận là [TEX]0[/TEX] đến [TEX] 2[/TEX]
Giải: Áp dụng nhị thức newton [TEX](a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^ka^{n-k}b^k[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{(1+x)^n=\sum_{k=0}^n C_n^kx^k=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+C_n^3x^3+...+ C_n^nx^n[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow{\int_0^2(1+x)^ndx=\int_0^2(C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+C_n^3x^3+...+ C_n^nx^n)dx=...=S[/TEX]
Vậy[TEX] S =\frac{3^{n+1}-1}{n+1}[/TEX]
VÍ DỤ 2:Tính [TEX]S=C_{2005}^0+2C_{2005}^1+3C_{2005}^2+...+2006C_{2005}^{2005}[/TEX]
Phân tích :SHTQ là [TEX](k+1)C_{2005}^k=kC_{2005}^k+C_{2005}^k[/TEX] (số hạng cuối gán [TEX]k=2005[/TEX] nên [TEX]2006=k+1[/TEX]).Không có cái nào mũ [TEX](2005-k)[/TEX] nên [TEX]a=1[/TEX] ,cái đầu có[TEX] k[/TEX] nên [TEX]b=x[/TEX]đạo hàm 1 lần ,không có cái nào mũ [TEX](k-1)[/TEX] nên sẽ gán[TEX] x=1[/TEX].Cái sau ko có cái nào mũ [TEX]k[/TEX] nên [TEX]b=1[/TEX]
Giải :Áp dụng nhị thức newton [TEX](a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^ka^{n-k}b^k[/TEX]
ta có [TEX](1+1)^{2005}=\sum_{k=0}^{2005}C_{2005}^k=C_{2005}^0+C_{2005}^1+C_{2005}^2+C_{2005}^3+.....+C_{2005}^{2005}[/TEX][TEX](1)[/TEX]
[TEX](1+x)^{2005}=\sum_{k=0}^{2005}C_{2005}^kx^k=C_{2005}^0+C_{2005}^1x+C_{2005}^2x^2+C_{2005}^3x^3+.....+C_{2005}^{2005}x^{2005}[/TEX]
Lấy đạo hàm 2 vế
[TEX]2005(1+x)^{2004}=C_{2005}^1+2C_{2005}^2x+3C_{2005}^3x^2+.....+2005C_{2005}^{2005}x^{2004}[/TEX] thế[TEX] x=1[/TEX] vào 2 vế
[TEX]2005.2^{2004}=C_{2005}^1+2C_{2005}^2+3C_{2005}^3+.....+2005C_{2005}^{2005(2)[/TEX]
[TEX](1)+(2)\Leftrightarrow{2^{2005}+2005.2^{2004}=C_{2005}^0+2C_{2005}^1+3C_{2005}^2+...+2006C_{2005}^{2005}=S[/TEX]
VÍ DỤ 3
Tính tổng [TEX]S=\frac{2^nC_n^0}{n+1}+\frac{2^{n-1}C_n^1}{n}+...+\frac{2^1C_n^{n-1}}{2}+\frac{2^0C_n^n}{1}[/TEX]
Phân tích : +Sao phần tử cuối cùng lạ vậy,[TEX]2^0[/TEX] sao không phải là [TEX]2^n[/TEX] mới hợp lý chứ?Ah thì ra đề bài chơi xấu mình rồi.Sử dụng tính chất [TEX]C_n^k=C_n^{n-k}[/TEX] ta lập tức có
[TEX]S=\frac{2^0C_n^0}{1}+\frac{2^1C_n^1}{2}+...+\frac{2^{n-1}C_n^{n-1}}{n}+\frac{2^nC_n^n}{n+1}[/TEX]
+[TEX]SHTQ :\frac{2^k}{k+1}C_n^k[/TEX] ủa có dấu hiệu của tích phân thỉ [TEX]b=x[/TEX] sao lại có cái mũ [TEX]k[/TEX] nữa,chẳng lẽ [TEX]b=x,b=2!!![/TEX]Làm gì có, [TEX]b=x [/TEX]còn tên kia tách ra thành [TEX]\frac{2^{k+1}}{2}[/TEX]
Vậy [TEX]a=1,b=x[/TEX] lấy tích phân từ [TEX]0[/TEX] đến [TEX]2 [/TEX]sau đó đem chia 2 vế cho [TEX]2[/TEX] là ok
Giải:giống ví dụ 1 sau đó đem chia 2 vế cho [TEX]2 [/TEX] [TEX]S=\frac{3^{n+1}-1}{2(n+1)}[/TEX]
VÍ DỤ 4: [TEX]3^nC_n^0-3^{n-1}C_n^1+3^{n-2}C_n^2-3^{n-3}C_n^3+...+(-1)^nC_n^n=2048[/TEX] tìm số hạng chứa[TEX] x^{10}[/TEX] của khai triển [TEX](2+x)^n[/TEX][TEX](khoiB2007)[/TEX]
Phân tích : hãy nhìn kỹ nhé số hạng cuối cùng có [TEX]3^{n-n}[/TEX] nữa đấy nhưng bị bỏ qua
SHTQ: [TEX]3^{n-k}(-1)^kC_n^k[/TEX] dễ dàng có [TEX]a=3,b=-1[/TEX]
Giải nhanh :[TEX](3-1)^n=2048\Leftrightarrow{n=11[/TEX] đưa lên trên tìm hệ số của [TEX]x^{10}[/TEX] kết quả là [TEX]heso .x^{10}[/TEX] nha vì người ta hỏi số hạng chứ không hỏi hệ số.
VÍ DỤ 5: Chứng minh rằng :[TEX]\frac{1}{2}C_{2n}^1+\frac{1}{4}C_{2n}^3+\frac{1}{6}C_{2n}^5+...\frac{1}{2n}C_{2n}^{2n-1}=\frac{2^{2n}-1}{2n+1}[/TEX][TEX](khoiA2007)[/TEX]
Phân tích : +Dãy lẽ không kìa vậy phải làm thêm cái -b nữa rồi cộng hoặc trừ 2 vế.
+SHTQ :[TEX]\frac{1}{k+1}C_n^k[/TEX] (số hạn cuối gán [TEX]k=2n-1[/TEX] do đó [TEX]2n=k+1[/TEX])
+ Vậy là lấy tích phân từ [TEX]0[/TEX] đến[TEX] 1[/TEX] ,[TEX]a=1,b=x [/TEX],làm thêm cái [TEX]a=1,b=-x[/TEX] nữa
Giải nhanh [TEX]\Rightarrow{(1+x)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}C_{2n}^kx^{k}=C_{2n}^0+C_{2n}^1x+C_{2n}^2x^2+C_{2n}^3x^3+...+C_{2n}^{2n-1}x^{2n-1}+ C_{2n}^{2n}x^{2n}[/TEX][TEX](1)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{(1-x)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}C_{2n}^k{-x}^{k}=C_{2n}^0-C_{2n}^1x+C_{2n}^2x^2-C_{2n}^3x^3+...-C_{2n}^{2n-1}x^{2n-1}+ C_{2n}^{2n}x^{2n}[/TEX][TEX](2)[/TEX]
Lấy tích phân từ [TEX]0 [/TEX]đến [TEX]1[/TEX] rồi lấy [TEX](1)-(2)[/TEX] sẽ là [TEX]2S[/TEX]
Lưu ý : ta có thể làm gộp 2 cái 1 lúc cho nhanh nghĩa là tính một cái tích phân chung luôn nhưng như vậy thấy dễ lộn xộn nên cứ làm từng thằng cho rồi,thằng sau khác dấu xíu với thằng đầu thôi.
Các bạn cứ nghĩ đại ra một số [TEX]SHTQ[/TEX] nào đó rồi thế [TEX]k=0[/TEX] đến[TEX] n [/TEX]thì có bài tập mới liền.Nắm nguyên tắc thỉ dễ dàng thôi.
Bài tập luyện tập :Làm vài bài cho vui
[TEX]1)S=C_{2n}^0+C_{2n}^23^2+C_{2n}^43^4+...+C_{2n}^{2n}3^{2n}[/TEX]
[TEX]2)S=3^nC_n^0-3^{n-1}C_n^1+3^{n-2}C_n^2+...+(-1)^nC_n^n[/TEX]
[TEX]3)S=3^{16}C_{16}^0-3^{15}C_{16}^1+3^{14}C_{16}^2-...+C_{16}^{16}[/TEX]
[TEX]4)CMR:100C_{100}^0(\frac{1}{2})^{99}-101C_{100}^1(\frac{1}{2})^{100}+...-199C_{100}^{99}(\frac{1}{2})^{198}+200C_{100}^{100}(\frac{1}{2})^{199}=0[/TEX]
[TEX]5)***[/TEX]Tính [TEX]S=\frac{1}{3}C_n^0+\frac{1}{4}C_n^1+...+\frac{1}{n+3}C_n^n[/TEX] Sau khi nắm vững những nguyên tắc ở trên hãy xem bài này các bạn nhé,cũng từ ý tưởng ở trên ra thôi!
+Đây là dạng bài dễ bắt gặp nhất và cũng khó khăn nhất và thướng kết hợp với dạng 1 (tìm được n từ dạng này và đưa lên tìm hệ số )
+Theo mình biết hiện tại chưa có một tài liệu tham khảo hay chuyên đề nào nói về phương pháp giải dạng bài này mà chỉ đơn giản đưa ra bài tập quen thuộc và giải bằng kinh nghiệm của người viết,làm cho các bạn cảm thấy rất khó khăn không biết vì sao lại như vậy mặc dủ biết là nó đúng.Sau chuyên đề này bạn sẽ thấy nó thật dễ thương làm sao và bạn cũng có thể ra đề bao nhiêu bài dạng này cũng được.
+ Phải ứng dụng nhị thức Newton để giải quyết (a,b có thể lấy bất kỳ miễn sau giải quyết được bài toán,ở đây mình đưa ra phương pháp sao cho dễ dàng nhất)
1) Cơ sở phân tích: Dựa trên số hạng tổng quát của khai triển,sau đó dùng khai triển bình thường,lấy đạo hàm hoặc nguyên hàm hoặc kết hợp chúng với nhau
bước 1:
Phải tìm ra số hạng tổng quát của khai triển :cái chỗ nào có k đấy,nếu không có thì ta dựa vào phần tử cuối cùng nhưng phải chú ý quan sát các phần tử khác xem có thêm phần tử [TEX]a^{n-k}[/TEX] hay không vì phần tử cuối cùng ứng với [TEX]k=n [/TEX]nên sẽ là [TEX]a^{n-n}=1 [/TEX]và bị bỏ qua
Sau đó ta xem phần tử cuối cùng ứng với k bằng mấy (thường là bằng luôn[TEX] n[/TEX]).Các thông số nào thay đổi thì phải viết theo[TEX] k,[/TEX],cố định từ đầu thì giữ nguyên.
Ví dụ
hần tử cuối cùng là [TEX]2^{2010-2010}.2010.2011C_{2010}^{2010}[/TEX] nghĩa là phần tử cuối cùng ứng với [TEX]k=2010[/TEX] vậy phần tử tổng quát sẽ là [TEX]2^{2010-k}.k(k+1)C_{2010}^k[/TEX] những chỗ là [TEX]2010 [/TEX] thì ta sẽ thấy cố định từ đầu đến cuối trong dãy.
bước 2
hân tích[TEX](a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^ka^{n-k}b^k[/TEX]
Ta sẽ so sánh tương ứng phần tử tổng quát vừa tìm được với nhị thức ở trên
+++Tìm [TEX]a[/TEX]:cái nào mà có mũ là [TEX](n-k)[/TEX] thì nó là [TEX]a[/TEX],nếu không có thì [TEX]a=1[/TEX]
+++Tìm[TEX] b[/TEX]:nếu không sử dụng đạo hàm hay tích phân thì cái nào mà có mũ là [TEX]k[/TEX] thì nó là [TEX]b[/TEX] (lúc này ta chỉ việc ráp [TEX]a,b [/TEX]vừa tìm được rồi khai triển là ok) nếu không có thì [TEX]b=1[/TEX](ok luôn) Nếu sử dụng đạo hàm hoặc tích phân thì [TEX] b=x[/TEX] (cái này mới vui nè)
kinh nghiệm:
+nếu thấy dấu hiệu của đạo hàm ,tích phân thì [TEX]b =x[/TEX]
+Thấy dãy có dấu [TEX]+ -[/TEX] liên tục thì nên chọn b có dấu trừ(mục đích là để đổi dấu như đề cho)
+Thấy dãy cho [TEX]C_n^k[/TEX] mà [TEX]k[/TEX] chẵn không hoặc k lẻ không thì ta biết rằng sẽ lảm thêm một cái với b lấy thêm dấu - nữa rồi cộng hoặc trừ hai khai triển đó (mục đích là để còn lại chẵn không hoặc lẻ không như đề)
+Thấy có nhân cho con số nào đó thì khi làm xong ta nhân 2 vế cho nó là ok
Nhận xét :
A/ nếu [TEX]b=x[/TEX] thì sẽ có [TEX]x^k[/TEX] khi ta đạo hàm [TEX]1 [/TEX]lần sẽ là [TEX]kx^{k-1}[/TEX],đạo hàm [TEX]2 l[/TEX]ần sẽ là[TEX] k(k-1)x^{k-2}[/TEX]..
Vậy khi phát hiện STTQ có:[TEX] k[/TEX] thì đạo hàm khai triển [TEX]1[/TEX] lần và thế [TEX]x=[/TEX](cái nào có mũ[TEX] k-1[/TEX],không có thì [TEX]x=1[/TEX]).Có [TEX]k(k-1)[/TEX] thì đạo hàm 2 lần thay thay [TEX]x=[/TEX](cái nào có mũ [TEX]k-2[/TEX] không có thì [TEX]x=1[/TEX])...
B/nếu [TEX]b=x[/TEX] thì sẽ có [TEX]x^k [/TEX]lấy nguyên hàm sẽ là [TEX]\frac{1}{k+1}x^{k+1}[/TEX] vậy khi phát hiện có [TEX]\frac{1}{k+1}[/TEX] thì lập tức khai triển xong tính tích phân từ [TEX]a[/TEX] đến [TEX]b[/TEX] với [TEX]a,b[/TEX] là 2 cái mà có mũ [TEX](k+1)[/TEX]
Ví dụ :SHTQ có [TEX]3^{k+1}-2^{k+1}[/TEX] thì lấy tích phân từ [TEX]2[/TEX] đến [TEX]3[/TEX].SHTQ có [TEX]3^{k+1}-1[/TEX]
thì lấy từ [TEX]1[/TEX] đến [TEX]3 [/TEX] vì [TEX]1 [/TEX] là [TEX]1^{k+1}[/TEX].SHTQ có [TEX]3^{k+1}[/TEX] thì lấy từ [TEX]0[/TEX] đến [TEX]3[/TEX] vì [TEX]0[/TEX] là [TEX]0^{k+1}[/TEX].SHTQ có [TEX]\frac{1}{k+1}[/TEX] thì lấy tích phân từ [TEX]0 [/TEX] đến [TEX]1[/TEX]
Kết luận :Ta phải dựa vào số hạng tổng quát và đưa về những dấu hiệu như trên bằng cách tách ra và chia đa thức
VÍ DỤ :
SHTQ là [TEX]:4^{n-k}k(k-1)5^{k-2}C_n^k[/TEX] thì ta khai triển [TEX](4+x)^n[/TEX] sau đó đạo hàm [TEX]2[/TEX] lần và thay [TEX]x=5[/TEX]
SHTQ là [TEX]:3^{n-k}2^{k+1}\frac{1}{k+1}C_n^k[/TEX] thì ta khai triển [TEX](3+x)^n[/TEX] lấy tích phân từ [TEX] 0[/TEX] đến [TEX]2[/TEX]
SHTQ là :[TEX]3^{n-k}\frac{2k^2+k+3}{k+1}C_n^k=3^{n-k}(2k-1+\frac{4}{x+1})C_n^k=2.3^{n-k}kC_n^k-3^{n-k}C_n^k+\frac{4}{k+1}3^{n-k}C_n^k=2S_1-S_2+4S_3[/TEX]
[TEX]S_1[/TEX]: khai triển [TEX](3+x)^n[/TEX] xong đạo hàm rồi thay [TEX]x=1[/TEX]
[TEX]S_2[/TEX] :khai triền [TEX](3+1)^n[/TEX]
[TEX]S_3[/TEX]:khai triển [TEX](3+x)^n[/TEX] rồi lấy tích phân từ [TEX]0 [/TEX]đến [TEX]1[/TEX]
VÍ DỤ 1 :Tính tổng [TEX]S=2C_n^0+\frac{2^2}{2}C_n^1+\frac{2^3}{3}C_n^2+...+\frac{2^{n+1}}{n+1}C_n^n[/TEX]
Phân tích :SHTQ là [TEX]\frac{2^{k+1}}{k+1}C_n^k[/TEX] không có cái nào mũ [TEX](n-k)[/TEX] nên [TEX]a=1[/TEX],có [TEX]\frac{1}{k+1} [/TEX]nên sẽ lấy tích phân ,có [TEX]2^{k+1}[/TEX] vậy cận là [TEX]0[/TEX] đến [TEX] 2[/TEX]
Giải: Áp dụng nhị thức newton [TEX](a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^ka^{n-k}b^k[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{(1+x)^n=\sum_{k=0}^n C_n^kx^k=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+C_n^3x^3+...+ C_n^nx^n[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow{\int_0^2(1+x)^ndx=\int_0^2(C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+C_n^3x^3+...+ C_n^nx^n)dx=...=S[/TEX]
Vậy[TEX] S =\frac{3^{n+1}-1}{n+1}[/TEX]
VÍ DỤ 2:Tính [TEX]S=C_{2005}^0+2C_{2005}^1+3C_{2005}^2+...+2006C_{2005}^{2005}[/TEX]
Phân tích :SHTQ là [TEX](k+1)C_{2005}^k=kC_{2005}^k+C_{2005}^k[/TEX] (số hạng cuối gán [TEX]k=2005[/TEX] nên [TEX]2006=k+1[/TEX]).Không có cái nào mũ [TEX](2005-k)[/TEX] nên [TEX]a=1[/TEX] ,cái đầu có[TEX] k[/TEX] nên [TEX]b=x[/TEX]đạo hàm 1 lần ,không có cái nào mũ [TEX](k-1)[/TEX] nên sẽ gán[TEX] x=1[/TEX].Cái sau ko có cái nào mũ [TEX]k[/TEX] nên [TEX]b=1[/TEX]
Giải :Áp dụng nhị thức newton [TEX](a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^ka^{n-k}b^k[/TEX]
ta có [TEX](1+1)^{2005}=\sum_{k=0}^{2005}C_{2005}^k=C_{2005}^0+C_{2005}^1+C_{2005}^2+C_{2005}^3+.....+C_{2005}^{2005}[/TEX][TEX](1)[/TEX]
[TEX](1+x)^{2005}=\sum_{k=0}^{2005}C_{2005}^kx^k=C_{2005}^0+C_{2005}^1x+C_{2005}^2x^2+C_{2005}^3x^3+.....+C_{2005}^{2005}x^{2005}[/TEX]
Lấy đạo hàm 2 vế
[TEX]2005(1+x)^{2004}=C_{2005}^1+2C_{2005}^2x+3C_{2005}^3x^2+.....+2005C_{2005}^{2005}x^{2004}[/TEX] thế[TEX] x=1[/TEX] vào 2 vế
[TEX]2005.2^{2004}=C_{2005}^1+2C_{2005}^2+3C_{2005}^3+.....+2005C_{2005}^{2005(2)[/TEX]
[TEX](1)+(2)\Leftrightarrow{2^{2005}+2005.2^{2004}=C_{2005}^0+2C_{2005}^1+3C_{2005}^2+...+2006C_{2005}^{2005}=S[/TEX]
VÍ DỤ 3
Tính tổng [TEX]S=\frac{2^nC_n^0}{n+1}+\frac{2^{n-1}C_n^1}{n}+...+\frac{2^1C_n^{n-1}}{2}+\frac{2^0C_n^n}{1}[/TEX]
Phân tích : +Sao phần tử cuối cùng lạ vậy,[TEX]2^0[/TEX] sao không phải là [TEX]2^n[/TEX] mới hợp lý chứ?Ah thì ra đề bài chơi xấu mình rồi.Sử dụng tính chất [TEX]C_n^k=C_n^{n-k}[/TEX] ta lập tức có
[TEX]S=\frac{2^0C_n^0}{1}+\frac{2^1C_n^1}{2}+...+\frac{2^{n-1}C_n^{n-1}}{n}+\frac{2^nC_n^n}{n+1}[/TEX]
+[TEX]SHTQ :\frac{2^k}{k+1}C_n^k[/TEX] ủa có dấu hiệu của tích phân thỉ [TEX]b=x[/TEX] sao lại có cái mũ [TEX]k[/TEX] nữa,chẳng lẽ [TEX]b=x,b=2!!![/TEX]Làm gì có, [TEX]b=x [/TEX]còn tên kia tách ra thành [TEX]\frac{2^{k+1}}{2}[/TEX]
Vậy [TEX]a=1,b=x[/TEX] lấy tích phân từ [TEX]0[/TEX] đến [TEX]2 [/TEX]sau đó đem chia 2 vế cho [TEX]2[/TEX] là ok
Giải:giống ví dụ 1 sau đó đem chia 2 vế cho [TEX]2 [/TEX] [TEX]S=\frac{3^{n+1}-1}{2(n+1)}[/TEX]
VÍ DỤ 4: [TEX]3^nC_n^0-3^{n-1}C_n^1+3^{n-2}C_n^2-3^{n-3}C_n^3+...+(-1)^nC_n^n=2048[/TEX] tìm số hạng chứa[TEX] x^{10}[/TEX] của khai triển [TEX](2+x)^n[/TEX][TEX](khoiB2007)[/TEX]
Phân tích : hãy nhìn kỹ nhé số hạng cuối cùng có [TEX]3^{n-n}[/TEX] nữa đấy nhưng bị bỏ qua
SHTQ: [TEX]3^{n-k}(-1)^kC_n^k[/TEX] dễ dàng có [TEX]a=3,b=-1[/TEX]
Giải nhanh :[TEX](3-1)^n=2048\Leftrightarrow{n=11[/TEX] đưa lên trên tìm hệ số của [TEX]x^{10}[/TEX] kết quả là [TEX]heso .x^{10}[/TEX] nha vì người ta hỏi số hạng chứ không hỏi hệ số.
VÍ DỤ 5: Chứng minh rằng :[TEX]\frac{1}{2}C_{2n}^1+\frac{1}{4}C_{2n}^3+\frac{1}{6}C_{2n}^5+...\frac{1}{2n}C_{2n}^{2n-1}=\frac{2^{2n}-1}{2n+1}[/TEX][TEX](khoiA2007)[/TEX]
Phân tích : +Dãy lẽ không kìa vậy phải làm thêm cái -b nữa rồi cộng hoặc trừ 2 vế.
+SHTQ :[TEX]\frac{1}{k+1}C_n^k[/TEX] (số hạn cuối gán [TEX]k=2n-1[/TEX] do đó [TEX]2n=k+1[/TEX])
+ Vậy là lấy tích phân từ [TEX]0[/TEX] đến[TEX] 1[/TEX] ,[TEX]a=1,b=x [/TEX],làm thêm cái [TEX]a=1,b=-x[/TEX] nữa
Giải nhanh [TEX]\Rightarrow{(1+x)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}C_{2n}^kx^{k}=C_{2n}^0+C_{2n}^1x+C_{2n}^2x^2+C_{2n}^3x^3+...+C_{2n}^{2n-1}x^{2n-1}+ C_{2n}^{2n}x^{2n}[/TEX][TEX](1)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{(1-x)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}C_{2n}^k{-x}^{k}=C_{2n}^0-C_{2n}^1x+C_{2n}^2x^2-C_{2n}^3x^3+...-C_{2n}^{2n-1}x^{2n-1}+ C_{2n}^{2n}x^{2n}[/TEX][TEX](2)[/TEX]
Lấy tích phân từ [TEX]0 [/TEX]đến [TEX]1[/TEX] rồi lấy [TEX](1)-(2)[/TEX] sẽ là [TEX]2S[/TEX]
Lưu ý : ta có thể làm gộp 2 cái 1 lúc cho nhanh nghĩa là tính một cái tích phân chung luôn nhưng như vậy thấy dễ lộn xộn nên cứ làm từng thằng cho rồi,thằng sau khác dấu xíu với thằng đầu thôi.
Các bạn cứ nghĩ đại ra một số [TEX]SHTQ[/TEX] nào đó rồi thế [TEX]k=0[/TEX] đến[TEX] n [/TEX]thì có bài tập mới liền.Nắm nguyên tắc thỉ dễ dàng thôi.
Bài tập luyện tập :Làm vài bài cho vui
[TEX]1)S=C_{2n}^0+C_{2n}^23^2+C_{2n}^43^4+...+C_{2n}^{2n}3^{2n}[/TEX]
[TEX]2)S=3^nC_n^0-3^{n-1}C_n^1+3^{n-2}C_n^2+...+(-1)^nC_n^n[/TEX]
[TEX]3)S=3^{16}C_{16}^0-3^{15}C_{16}^1+3^{14}C_{16}^2-...+C_{16}^{16}[/TEX]
[TEX]4)CMR:100C_{100}^0(\frac{1}{2})^{99}-101C_{100}^1(\frac{1}{2})^{100}+...-199C_{100}^{99}(\frac{1}{2})^{198}+200C_{100}^{100}(\frac{1}{2})^{199}=0[/TEX]
[TEX]5)***[/TEX]Tính [TEX]S=\frac{1}{3}C_n^0+\frac{1}{4}C_n^1+...+\frac{1}{n+3}C_n^n[/TEX] Sau khi nắm vững những nguyên tắc ở trên hãy xem bài này các bạn nhé,cũng từ ý tưởng ở trên ra thôi!
