Toán [lớp9] căn bậc 2. Chứng minh bđt

[Bonechimte]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh rằng: với mọi n thuộc N* ta có:
$$\frac{1}{2\sqrt{1}} +\frac{1}{3\sqrt{2}} +\frac{1}{4\sqrt{3}}+....+\frac{1}{(n+1).\sqrt{n}} <2$$

 

[Nguyễn Võ Văn Hùng]

Khó quá hihi..........................................................

 

[chi254]

chứng minh rằng: với mọi n thuộc N* ta có:
$$\frac{1}{2\sqrt{1}} +\frac{1}{3\sqrt{2}} +\frac{1}{4\sqrt{3}}+....+\frac{1}{(n+1).\sqrt{n}} <2$$

$\dfrac{1}{(n+1).\sqrt{n}} \\
=\dfrac{\sqrt{n}}{(n+1).n}\\
= \sqrt{n} . \dfrac{1}{(n+1).n} \\
= \sqrt{n}(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}) \\
= \sqrt{n}(\dfrac{1}{\sqrt{n}} + \dfrac{1}{\sqrt{n + 1}})(\dfrac{1}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1}}) \\
= (1 + \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}})(\dfrac{1}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1}}) < 2(\dfrac{1}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1}})$
Áp dụng bđt trên vào bài ta sẽ c/m được
$\dfrac{1}{2\sqrt{1}} +\dfrac{1}{3\sqrt{2}} +\dfrac{1}{4\sqrt{3}}+....+\dfrac{1}{(n+1).\sqrt{n}} <2$

 

[Bonechimte]

$\frac{1}{(n+1).\sqrt{n}} \\
=\frac{\sqrt{n}}{(n+1).n}\\
= \sqrt{n} . \frac{1}{(n+1).n} \\
= \sqrt{n}(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}) \\
= \sqrt{n}(\dfrac{1}{\sqrt{n}} + \dfrac{1}{\sqrt{n + 1}})(\dfrac{1}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1}}) \\
= (1 + \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}})(\dfrac{1}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1}}) < 2(\dfrac{1}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{\sqrt{n + 1}})$
Áp dụng bđt trên vào bài ta sẽ c/m được
$\frac{1}{2\sqrt{1}} +\frac{1}{3\sqrt{2}} +\frac{1}{4\sqrt{3}}+....+\frac{1}{(n+1).\sqrt{n}} <2$

Mk ko đọc đc cái đằng trên á! Nó bị lỗi ah

@chi254 : Mik mới đăng nên chưa kịp sửa nha bạn . Đã sửa lại