Toán (LỚP 9)

[Ngô Nhật Quỳnh Vy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Các điểm M,N thay đổi trên BC, CD sao cho góc MAN = 45° . Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi và tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác CMN.
GIÚP EM VỚI Ạ. EM CẢM ƠN

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $BE=DN$.
Khi đó dễ dàng chứng minh: $\triangle BAE=\triangle DAN$.
Do đó $AE=AN$.
Mặt khác: $\widehat{BAM}+\widehat{DAN}=90^0-45^0=45^0 \\\Rightarrow \widehat{BAM}+\widehat{EAB}=45^0=\widehat{MAN} \\\Rightarrow \widehat{EAM}=\widehat{MAN}$.
Mà $AE=AN \Rightarrow ME=MN$.
Ta có:$ P_{CMN}=MN+MC+CN=ME+CM+CN=MB+MC+BE+CN=BC+DN+NC=BC+CD=2a$.
Do đó chu vi tam giác $CMN$ không đổi.
Ta có:
$2a=MN+CM+CD=\sqrt{CM^2+CD^2}+CM+CD \\\geq 2\sqrt{2CM.CD}+2\sqrt{CM.CD}
\\\Rightarrow \sqrt{CM.CD} \leq \dfrac{2a}{2\sqrt{2}+2}=\dfrac{a}{\sqrt{2}+1}
\\\Rightarrow \dfrac{1}{2}CM.CD \leq \dfrac{a^2}{(\sqrt{2}+1)^2}.\dfrac{1}{2}
\\\Rightarrow S_{CMD} \leq \dfrac{a^2}{(\sqrt{2}+1)^2}.\dfrac{1}{2}$
Dấu '=' khi $CM=CN$.