Toán [Lớp 9] Tìm GTLN của biểu thức

[Trần Tuyết Khả]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y là 2 số thực thỏa mãn $x^3$+$y^3$+3($x^2$+$y^2$)+4(x+y)+4=0
Và xy>0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M= [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}[/tex].

 

[Phan Tú Anh]

Ta có : x³ + y³ + 3(x² + y²) + 4(x + y) + 4 = 0
<=> (x + 1)³ + (y + 1)³ + x + y + 2=0
<=> (x + y + 2)[(x + 1)² - (x + 1)(y + 1) + (y + 1)² + 1]=0
Xét [(x + 1)² - (x + 1)(y + 1) + (y + 1)² + 1]
[tex]\left [ (x+1)-\frac{1}{2}(y+1) \right ]^{2}+\frac{3}{4}(y+1)^{2}+1 >0[/tex]
=> x+y+2=0
<=> x+y= -2
Ta có M = [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}[/tex]
M = [tex]\frac{x+y}{xy}[/tex]
= [tex]\frac{-2}{xy}[/tex]
Vì 4xy [tex]\leq (x+y)^{2}[/tex]
=> 4xy [tex]\leq 4[/tex]
<=> xy [tex]\leq 1[/tex]
=> [tex]\frac{-2}{xy}\leq -2[/tex]
<=> M [tex]\leq -2[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi x=y =-1

 

[Trần Tuyết Khả]

Ta có : x³ + y³ + 3(x² + y²) + 4(x + y) + 4 = 0
<=> (x + 1)³ + (y + 1)³ + x + y + 2=0
<=> (x + y + 2)[(x + 1)² - (x + 1)(y + 1) + (y + 1)² + 1]=0

Bạn ơi giải thích rõ hơn chỗ này giùm mình được không.

 

[hdiemht]

Bạn ơi giải thích rõ hơn chỗ này giùm mình được không.

Chổ đó tức là (x+1)^3+(y+1)^3=... sau đó có nhân tử x+y+2

 

[Trần Tuyết Khả]

Chổ đó tức là (x+1)^3+(y+1)^3=... sau đó có nhân tử x+y+2

Vậy còn chỗ dấu tương đương đầu tiên thì sao bạn?

 

[hdiemht]

Vậy còn chỗ dấu tương đương đầu tiên thì sao bạn?

Ghép lại thành HĐT x^3+3x^2+3x+1+y^3+3y^2+3y+1+x+y+2

 

[Phan Tú Anh]

Bạn ơi giải thích rõ hơn chỗ này giùm mình được không.

chỗ nào bạn ?

 

[Trần Tuyết Khả]

chỗ nào bạn ?

Hì có người giải đáp rồi bạn ạ