Toán [Lớp 9] Diện tích tam giác

[mỳ gói]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Qua O nằm trong tam giác ABC.
Vẽ các đường thẳng song song với 3 cạnh của .
các đường thẳng này tạo thành 3 hình bình hành và 3 tam giác.
Đặt diện tích ba tam giác đó lần lượt là a, b,c
a) tính diện tích của ABC
b) chứng minh rằng diện tích tam giác ABC luôn bé hơn 3 lần diện tích 3 tam giác nhỏ : a, b,c
@Thánh Lầy Lội , @Mark Urich , @Bonechimte , @Nữ Thần Mặt Trăng , @nhokcute1002

 

[Mark Urich]

Qua O nằm trong tam giác ABC.
Vẽ các đường thẳng song song với 3 cạnh của .
các đường thẳng này tạo thành 3 hình bình hành và 3 tam giác.
Đặt diện tích ba tam giác đó lần lượt là a, b,c
a) tính diện tích của ABC
b) chứng minh rằng diện tích tam giác ABC luôn bé hơn 3 lần diện tích 3 tam giác nhỏ : a, b,c
@Thánh Lầy Lội , @Mark Urich , @Bonechimte , @Nữ Thần Mặt Trăng , @nhokcute1002

tôi gợi ý bạn câu b:
trước hết bạn thấy rằng 3 tam giác nhỏ đó và tam giác ABC nữa, cả 4 tam giác này đồng dạng đúng ko.
gọi diện tích 3 tam giác nhỏ này là a, b, c như trên. a là tam giác có các cạnh tương ứng song song với cạnh của góc A, ....
S là diện tích ABC.
[tex]d_{a}, d_{b}, d_{c}[/tex] là khoảng cách từ O đến các cạnh BC, CA và AB.
[tex]\frac{a}{S} = \frac{d_{a}}{h_{a}}.\frac{d_{a}}{h_{a}} = \frac{d_{a}^{2}}{h_{a}^{2}}[/tex] do đồng dạng.
[tex]h_{a}[/tex] là đường cao từ A.
tương tự với 2 cái còn lại, suy ra:
[tex]\frac{a + b + c}{S} = \frac{d_{a}^{2}}{h_{a}^{2}} + \frac{d_{b}^{2}}{h_{b}^{2}} + \frac{d_{c}^{2}}{h_{c}^{2}} \geq \frac{1}{3}.(\frac{d_{a}}{h_{a}} + \frac{d_{b}}{h_{b}} + \frac{d_{c}}{h_{c}})^{2}[/tex]
chắc bạn biết bất đẳng thức trên.
bây jờ lại để ý là [tex]S = S_{OBC} + S_{OCA} + S_{OAB}[/tex]
hay là: [tex]\frac{d_{a}}{h_{a}} + \frac{d_{b}}{h_{b}} + \frac{d_{c}}{h_{c}} = 1[/tex]
kết hợp lại suy ra dpcm.