Toán lớp 9 cực trị đại số

[tiểu thiên sứ]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn 3(x^4+y^4+z^4)-7(x^2+y^2+z^2)+12=0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=x^2/(y+2z) +y^2/(z+2x) +z^2/(x+2y)
mọi người giải dùm mình nhé. chân thành cảm ơn

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

1, cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn 3(x^4+y^4+z^4)-7(x^2+y^2+z^2)+12=0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=x^2/(y+2z) +y^2/(z+2x) +z^2/(x+2y)
mọi người giải dùm mình nhé. chân thành cảm ơn

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$P=\dfrac{x^2}{y+2z}+\dfrac{y^2}{z+2x}+\dfrac{z^2}{x+2y}$
$=\dfrac{x^4}{x^2y+2zx^2}+\dfrac{y^4}{y^2z+2xy^2}+\dfrac{z^4}{z^2x+2yz^2}$
$\geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2(xy^2+yz^2+zx^2)}$
Áp dụng BĐT $ab+bc+ca\leq \dfrac{(a+b+c)^2}3$ ta có:
$x^2y+y^2z+z^2x\leq \sqrt{(x^2+y^2+z^2)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}$
$\leq \sqrt{(x^2+y^2+z^2).\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}3}$
$=(x^2+y^2+z^2)\sqrt{\dfrac{x^2+y^2+z^2}3}$
cmtt: $2(xy^2+yz^2+zx^2)\leq 2(x^2+y^2+z^2)\sqrt{\dfrac{x^2+y^2+z^2}3}$
Suy ra: $P\geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3(x^2+y^2+z^2)\sqrt{\dfrac{x^2+y^2+z^2}3}}=\sqrt{\dfrac{x^2+y^2+z^2}3}$
Mà $3(x^4+y^4+z^4)\geq (x^2+y^2+z^2)^2$ (Cauchy-Schwarz)
$\Rightarrow 0\geq (x^2+y^2+z^2)^2-7(x^2+y^2+z^2)+12$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq 3$
$\Rightarrow P\geq 1$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z=1$
Vây...