Toán [LỚP 9] BĐT và cực trị đại số

[machung25112003]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho x,y là các số dương. Chứng minh: [tex]\frac{x+y}{\sqrt{x(3x+y)}+\sqrt{y(3y+x)}}[/tex] [tex]\geq \frac{1}{2}[/tex]
2. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: a+b+c=3
a) tìm GTLN của A = [tex]\sqrt{5a+4b}+\sqrt{5b+4c}+\sqrt{5c+4a}[/tex]
b) tìm GTLN củaB = [tex]\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}[/tex]

 

[Ann Lee]

1. Cho x,y là các số dương. Chứng minh: [tex]\frac{x+y}{\sqrt{x(3x+y)}+\sqrt{y(3y+x)}}[/tex] [tex]\geq \frac{1}{2}[/tex]
2. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: a+b+c=3
a) tìm GTLN của A = [tex]\sqrt{5a+4b}+\sqrt{5b+4c}+\sqrt{5c+4a}[/tex]
b) tìm GTLN củaB = [tex]\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}[/tex]

1. [tex]\sqrt{4x(3x+y)}+\sqrt{4y(3y+x)}\leq \frac{4x+3x+y}{2}+\frac{4y+3y+x}{2}=4(x+y)[/tex] (BĐT Cauchy)
[tex]\Rightarrow \frac{x+y}{\sqrt{x(3x+y)}+\sqrt{y(3y+x)}}=\frac{2(x+y)}{\sqrt{4x(3x+y)}+\sqrt{4y(3y+x)}}\geq \frac{2(x+y)}{4(x+y)}=\frac{1}{2}[/tex] (đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y

2. a) [tex]A^{2}=(\sqrt{5a+4b}+\sqrt{5b+4c}+\sqrt{5c+4a})^{2}\leq (1^{2}+1^{2}+1^{2})(5a+4b+5b+4c+5c+4a)=3.9.(a+b+c)=81[/tex] (BĐT Bunyakovsky cho 2 bộ số)
[tex]\Rightarrow A\leq 9[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
b) [tex]\frac{a}{1+b^{2}}=\frac{a(1+b^{2})-ab^{2}}{1+b^{2}}=a-\frac{ab^{2}}{1+b^{2}}\geq a-\frac{ab^{2}}{2b}=a-\frac{ab}{2}[/tex] (BĐT Cauchy)
Tương tự:...
Cộng vế với vế các BĐT vừa tạo được: [tex]\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}\geq 3-\frac{(a+b+c)^{2}}{6}=\frac{3}{2}[/tex] ( dùng BĐT phụ [tex]ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}[/tex] chứng minh được bằng biến đổi tương đương)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1