Ta có a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=1-2(ab+bc+ac)
Mà ab+bc+ac[tex]\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/tex]
=>a^2+b^2+c^2<=1-6[tex]\sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/tex]
Mà a+b+c>=[tex]3\sqrt[3]{abc}[/tex] =>abc<=1/27
Khi đó a^2+b^2+c^2<=1-6[tex]\sqrt[3]{\frac{1}{27^2}}[/tex] =1/3
=>A>=3+27=30
Không bt có nhầm ko mà min quá lớn
Min thì đúng rồi, nhưng bạn bị ngược dấu ở dòng màu đỏ.
[tex]1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}[/tex] (BĐT Cauchy 3 số dương)
$P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{abc}$
$=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{a+b+c}{abc}$
$=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$
$=(\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ca})+\frac{2}{3}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$
$\geq \frac{16}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3ab+3bc+3ca}+\frac{2}{3}.3\sqrt[3]{\frac{1}{(abc)^{2}}}$ (BĐT phụ [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\geq \frac{16}{x+y+z+t}[/tex] và BĐT Cauchy 3 số dương)
$=\frac{16}{(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca}+2.\frac{1}{\sqrt[3]{(abc)^{2}}}$
$\geq \frac{16}{(a+b+c)^{2}+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}+2.\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{27^{2}}}}$
$=\frac{16}{1+\frac{1}{3}}+2.\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{27^{2}}}}=30$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
