cho a,b,c>0 thoả mãn điều kiện [tex]ab+bc+ca\geq 3[/tex]. CMR
[tex]\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}+\sqrt{c+3}\leq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})[/tex]
+) Có: [tex](\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}+\sqrt{c+3})^{2}\leq (1^{2}+1^{2}+1^{2})(a+3+b+3+c+3)=3(a+b+c)+27[/tex] (BĐT Bunyakovsky) (1)
+) Có: [tex]2(a^{2}+b^{2}+c^{2})=(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})+(ab+bc+ca)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})+3\geq 2(a+b+c)[/tex] (BĐT Cauchy)
[tex]\Rightarrow 4(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\geq 4(a+b+c)^{2}[/tex] (2)
+) Có: $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$ (dễ chứng minh)
$\Rightarrow a+b+c\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}$
$\Rightarrow (a+b+c)^{2}\geq (a+b+c)\sqrt{3(ab+bc+ca)}\geq (a+b+c)\sqrt{3.3}=3(a+b+c)$
[tex]\Rightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}\geq 3(a+b+c)[/tex] (3)
+) Có: [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca\geq 3\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+24\geq 3+24=27[/tex]
Nên từ (3) suy ra
$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a^{2}+b^{2}+c^{2})+24\geq 3(a+b+c)+27$
$\Leftrightarrow 4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+24\geq 3(a+b+c)+27$
Mà [tex]4(a+b+c)^{2}=4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8(ab+bc+ca)\geq 4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+24[/tex]
Suy ra [tex]4(a+b+c)^{2}\geq 3(a+b+c)+27[/tex]
Nên từ (1) và (2) suy ra đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
