Toán 8 [Lớp 8] Hình vuông

[Sư tử lạnh lùng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc AB, MF vuông góc AD.
a, Chứng minh rằng: DE = CF
b, Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy
c, Xác định vị trí của để diện tích AEMF lớn nhất

 

[Kaito Kidㅤ]

a. Dễ thấy AEMF là hình chữ nhật
-> AE = FM (1)
Dễ thấy tam giác DFM vuông cân tại F
-> FM = DF (2)
từ (1) (2) -> AE = DF
-> tam giác ADE = tam giác vg DCF
-> DE = CF
Lại -> ^ADE = ^DCF
-> DE vuông góc CF (3) ( vì đã có AD vuông góc DC)
b) Giống câu a) ; thấy AF = BE => tam giác ABF =tam giác BCE => ^ABF = ^BCE => BF vuông góc CE ( vì đã có AB vuông góc BC) (4)
Gọi H là giao của BF và DE
Từ (3) và (4)
-> H là trực tâm của tg CEF
Mặt khác gọi N là giao của BC và MF. dễ thấy CN = DF = AE; MN = EM = AF -> tam giác AEF =tam giác CMN -> ^AEF = ^MCN -> CM vuông góc EF ( vì đã có CN vuông góc AE) => CM là đường cao thuộc đỉnh C của tg CEF
-> CM phải đi qua trực tâm H
-> 3 đường thẳng DE;BF,CM đồng quy tại H
c) Dễ thấy AE + EM = AE + EB = AB mà AB không đổi
(AE - EM)^2 >=0 -> AE^2 + EM^2 >= 2AE.EM -> (AE + EM)^2 >=4AE.EM -> ((AE + EM)/2)^2 >= AE.EM -> AB^2/4 >=S(AEMF)
Vậy S(AEMF) đạt GTLN khi AE = EM => M trùng tâm O của hình vuông ABCD