Toán 8 [Lớp 8] Chuyên đề chia hết

[Sư tử lạnh lùng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Chứng minh rằng: [tex]3a^{4}-14a^{3}+21a^{2}-10a \vdots 24[/tex]
Bài 2: Tìm n thuộc N để:
a, [tex]n^{2}-4n+229 \vdots 5[/tex]
b, [tex]2^{n} +2015\vdots 7[/tex]
c, [tex]n^{10}+1 \vdots 10[/tex]
d, [tex]n. 2^{n}+3^{n}\vdots 5[/tex]

 

[Linh Drac]

Bài 1: Chứng minh rằng: [tex]3a^{4}-14a^{3}+21a^{2}-10a \vdots 24[/tex]

Biểu thức $=a(a-1)(a-2)(3a-5)$

Dễ thấy $a(a-1)(a-2)$ luôn chia hết cho 3.

+) TH1: $a$ chẵn $=>a$ và $a-2$ chẵn liên tiếp $=>$ có 1 số chia hết cho $4=>$ tích chia hết cho $2.4=8=>$ chia hết cho $8.3=24$
+) TH2: $a$ lẻ $=>a-1$ và $3a-5$ chẵn liên tiếp $=>.......$

Vậy 2TH đều suy ra đpcm.

 

[Sư tử lạnh lùng]

Biểu thức $=a(a-1)(a-2)(3a-5)$

Dễ thấy $a(a-1)(a-2)$ luôn chia hết cho 3.

+) TH1: $a$ chẵn $=>a$ và $a-2$ chẵn liên tiếp $=>$ có 1 số chia hết cho $4=>$ tích chia hết cho $2.4=8=>$ chia hết cho $8.3=24$
+) TH2: $a$ lẻ $=>a-1$ và $3a-5$ chẵn liên tiếp $=>.......$

Vậy 2TH đều suy ra đpcm.

Còn bài 2 làm được không, thầy của mình gợi ý là dùng đồng dư thức.

 

[Lê Khắc Mạnh Tùng]

2)
a) Xét các th:
+)n=5k=>25k^2-4.5k+229 không chia hết cho 5
+)n=5k+1=>n^2 đồng dư vs 1(mod 5)
-4n đồng dư vs -4(mod 5) =>bt đồng dư vs 1-4+229 đồng dư vs 1(mod 5)
+)n=5k-1=>n^2 đồng dư vs 1(mod 5)
-4n đồng dư vs 4 (mod 5) =>bt đồng dư vs 1+4+229 đồng dư vs 4(mod 5)
+)n=5k+2=>n^2 đồng dư vs 4 (mod 5)
-4n đồng dư vs -8 đồng dư vs -3 (mod 5)
=> bt đồng dư vs 4-8+229 đông dư vs 0(mod 5)
+)n=5k-2=> n^2 đồng dư vs 4 (mod 5)
-4n đồng dư vs 8 (mod 5)
=> bt đồng dư vs 4+8+229 đồng dư vs 1 (mod 5)
Vậy n=5k+2 tm đề bài

 

[Linh Drac]

Già rồi chả nhớ kt đồng dư tn, mà thấy làm cách này cũng ra giống nè :v

$a, <=>(n-2)^2+225$ chia hết cho $5=>n-2$ chia hết cho $5=>n=5k+2$

$b, <=> S=2^n-1+2016$ chia hết cho $7=>A=2^n-1$ phải chia hết cho $7$

Xét các TH:
$+..n = 3k$
$=>A = 2ⁿ - 1 = 2^3k - 1 = 8^k - 1 = (8-1)[8^(k-1) + 8^(k-2) +..+ 8 + 1] = 7p$ chia hết cho $7$.

$+.. n = 3k+1 $
$=>A = 2^(3k+1) -1 = 2.2^3k - 1 = 2(8^k - 1) + 1 = 2*7p + 1$ chia 7 dư 1

$+..n = 3k+2 $
$=>A = 2^(3k+2) -1 = 4.8^k -1 = 4(8^k - 1) + 3 = 4*7p + 3$ chia 7 dư 3

Vậy $n=3k$ thỏa mãn đkđb.

 

[Sư tử lạnh lùng]

Già rồi chả nhớ kt đồng dư tn, mà thấy làm cách này cũng ra giống nè :v

$a, <=>(n-2)^2+225$ chia hết cho $5=>n-2$ chia hết cho $5=>n=5k+2$

$b, <=> S=2^n-1+2016$ chia hết cho $7=>A=2^n-1$ phải chia hết cho $7$

Xét các TH:
$+..n = 3k$
$=>A = 2ⁿ - 1 = 2^3k - 1 = 8^k - 1 = (8-1)[8^(k-1) + 8^(k-2) +..+ 8 + 1] = 7p$ chia hết cho $7$.

$+.. n = 3k+1 $
$=>A = 2^(3k+1) -1 = 2.2^3k - 1 = 2(8^k - 1) + 1 = 2*7p + 1$ chia 7 dư 1

$+..n = 3k+2 $
$=>A = 2^(3k+2) -1 = 4.8^k -1 = 4(8^k - 1) + 3 = 4*7p + 3$ chia 7 dư 3

Vậy $n=3k$ thỏa mãn đkđb.

Tại sao bạn xét trường hợp n=3k,3k+1 và 3k+2 vậy?

 

[Linh Drac]

Tại sao bạn xét trường hợp n=3k,3k+1 và 3k+2 vậy?

Vì như vậy mới đầy đủ và trọn hết mọi TH với mọi số nguyên.

Còn 3k hay 2k hay 5k là linh động theo từng bài.

 

[Sư tử lạnh lùng]

Vì như vậy mới đầy đủ và trọn hết mọi TH với mọi số nguyên.

Còn 3k hay 2k hay 5k là linh động theo từng bài.

Thì ý mình hỏi là tại sao trong bài này bạn xét số dư là 3 (nghĩa là xét 3k, 3k+1 và 3k+2)?

 

[Linh Drac]

Thì ý mình hỏi là tại sao trong bài này bạn xét số dư là 3 (nghĩa là xét 3k, 3k+1 và 3k+2)?

Mò thôi

 

[Sư tử lạnh lùng]

Mò thôi

Bạn có cách nào khác giải bài này không?

 

[Linh Drac]

Bạn có cách nào khác giải bài này không?

Tạm thời chưa nghĩ ra :3, mà cách này có vẫn đề gì vại?

Thường thì mấy bài dạng này dùng cách kiểu này mà. :3