Toán [ Lớp 8 ] Chứng minh

[Jones Jenifer]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
a) [tex]a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca)[/tex]
b) [tex]\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{a+c-b} + \frac{c}{a+b-c}\geq 3[/tex]
c) [tex]\frac{1}{a+b}, \frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}[/tex] cũng là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

 

[Trang Ran Mori]

a) Áp dụng bđt trong tg ta có
a+b>c=> ac+bc> c^2(1)
b+c>a=> ab+ ac> a^2(2)
c+a>b=> bc+ab>b^2(3)
Cộng vế vs vế (1), (2), (3) ta có đpcm

b) Do a, b, c là 3 cạnh tam giác nên a+b-c>0, b+c-a>0 , c+a-b > 0
Đặt x = b+c-a > 0
y = a+c-b > 0
z = a+b-c > 0
=> a = (y+z)/2
b = (x+z)/2
c = (x+y)/2
A= a/(b+c-a) + b/(a+c-b)+c/(a+b-c)
= (y+z)/(2x) + (x+z)/(2y) + (x+y)/(2z)
= 1/2 . (x/y + y/x + x/z + z/x + y/z + z/y)
Áp dụng bdt Cô-si cho 2 số:
x/y + y/x >= 2
x/z + z/x >= 2
y/z + z/y >= 2
Cộng 3 bdt trên suy ra
(x/y + y/x + x/z + z/x + y/z + z/y) >= 6
=> A >= 1/2.6=3 (đpcm)

c)Giả sử a là cạnh lớn nhất trong tam giác. Khi đó 1/b+c là độ dài lớn nhất trong 3 độ dài 1/a+b, 1/b+c, 1/c+a
khi đó để cm...........thì chỉ cần cm 1/a+b + 1/ c+a> 1/b+c(1)
bạn quy đôngg VP sau đó nhân chéo. đến đây dễ rồi, tự làm nha