Toán [Lớp 8] Chứng minh

[hapt1958@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c >0. CMR [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Cho a, b, c >0. CMR [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})[/tex]

Ta luôn có $\dfrac1x+\dfrac1y\ge \dfrac 4{x+y}$ (*) với $x,y>0$.
Thật vậy, bđt (*) $\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{xy}\ge \dfrac 4{x+y}\Leftrightarrow (x+y)^2\ge 4xy\Leftrightarrow (x-y)^2\ge 0$ (luôn đúng)
Áp dụng bđt trên ta có:
$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=\dfrac12(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1b+\dfrac1c+\dfrac1a+\dfrac1c)\ge \dfrac12(\dfrac 4{a+b}+\dfrac 4{b+c}+\dfrac 4{a+c})=2(\dfrac1{a+b}+\dfrac1{b+c}+\dfrac1{c+a})$ (đpcm)