cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác .
Chứng minh [tex]\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{-a+b+c}+\frac{ca}{a-b+c}\geq a+b+c[/tex]
Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} a+b-c=x\\-a+b+c=y \\a-b+c=z \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{x+z}{2}\\b=\frac{x+y}{2} \\c=\frac{y+z}{2} \\x+y+z=a+b+c \end{matrix}\right.[/tex]
BĐT cần c/m [tex]\Leftrightarrow \frac{(x+y)(x+z)}{4x}+\frac{(y+z)(y+x)}{4y}+\frac{(z+y)(z+x)}{4z}\geq x+y+z[/tex]
Có: $\frac{(x+y)(x+z)}{4x}$[tex]=\frac{x^{2}+xz+yx+yz}{4x}=\frac{x}{4}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}+\frac{yz}{4x}[/tex]
Tương tự:....
Cộng vế với vế các BĐT vừa tạo được:
[tex]\frac{(x+y)(x+z)}{4x}+\frac{(y+z)(y+x)}{4y}+\frac{(z+y)(z+x)}{4z}[/tex]=[tex]\frac{3}{4}(x+y+z)+\frac{1}{4}(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y})[/tex]
Có [tex]\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\geq 2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2y[/tex]
Tương tự:...
Cộng vế với vế các BĐT vừa tạo rồi chia cả hai vế cho 2 được $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}$[tex]\geq x+y+z[/tex]
Suy ra [tex]\frac{(x+y)(x+z)}{4x}+\frac{(y+z)(y+x)}{4y}+\frac{(z+y)(z+x)}{4z}[/tex][tex]\geq \frac{3}{4}(x+y+z)+\frac{1}{4}(x+y+z)=x+y+z[/tex] (đpcm)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
