Toán Lớp 8 BĐT

[NoName23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, CMR:[tex]\frac{1}{1+a^{4}}[/tex] +[tex]\frac{1}{1+b^{4}} + \frac{1}{1+c^{4}}[/tex] [tex]\geq \frac{1}{1+ab^{3}} + \frac{1}{1+bc^{3}} + \frac{1}{1+ca^{3}}[/tex]
2,Cho a,b,c là các số dương TM: x+y+z=1.Tìm GTLN của biểu thức:[tex]P=\frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} +\frac{z}{z+1}[/tex]
3,Cho x,y,z là các số thực khác 0 TM: x+y+z+xy+yz+zx=6xyz
Tìm GTNN của biểu thức P=[tex]\frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{y^{2}}+ \frac{1}{z^{2}}[/tex]

 

[Ann Lee]

1, CMR:[tex]\frac{1}{1+a^{4}}[/tex] +[tex]\frac{1}{1+b^{4}} + \frac{1}{1+c^{4}}[/tex] [tex]\geq \frac{1}{1+ab^{3}} + \frac{1}{1+bc^{3}} + \frac{1}{1+ca^{3}}[/tex]
2,Cho a,b,c là các số dương TM: x+y+z=1.Tìm GTLN của biểu thức:[tex]P=\frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} +\frac{z}{z+1}[/tex]
3,Cho x,y,z là các số thực khác 0 TM: x+y+z+xy+yz+zx=6xyz
Tìm GTNN của biểu thức P=[tex]\frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{y^{2}}+ \frac{1}{z^{2}}[/tex]

Bài 2:
Áp dụng BĐT phụ: [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{9}{a+b+c}[/tex] với a,b,c>0 ( có thể chúng minh bằng BĐT Cauchy hoặc BĐT Bunyakovsky)
Xét [tex]3-P=(1-\frac{x}{x+1})+(1-\frac{y}{y+1})+(1-\frac{z}{z+1})=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq \frac{9}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\Rightarrow P\leq \frac{3}{4}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> $x=y=z=\frac{1}{3}$
Bài 3:
[tex]x+y+z+xy+yz+zx=6xyz\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=6[/tex]
[tex]\frac{1}{x^{2}}+1\geq \frac{2}{x}[/tex] ; [tex]\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{2}{xy}[/tex] ( BĐT Cauchy 2 số)
Tương tự:...
Cộng vế với vế 6 BĐT trên được: [tex]3(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})+3\geq 2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=12[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\geq 3[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1