Toán [lớp 8]BĐT Khó

[Thái Vĩnh Đạt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là 3 cạn tam giác,CMR[tex]\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3[/tex]

 

[Tưi Tưi]

[tex](b+c-a)(a+c-b)\leq \frac{(b+c-a+a+c-b)^2}{4}=c^2[/tex]

Tương tự có
[tex](b+c-a)(a+b-c)\leq \frac{(b+c-a+a+b-c)^2}{4}=b^2[/tex]
[tex](a+c-b)(a+b-c)\leq \frac{(a+c-b+a+b-c)^2}{4}=a^2[/tex]

[tex]\Rightarrow (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)\leq abc[/tex]

[tex]\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}\geq 3[/tex]

 

[Thái Vĩnh Đạt]

Cho đó là cách 1
Cách 2
Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Từ đó suy ra [tex]\frac{y+z}{2}[/tex]=a;b=[tex]\frac{x+z}{2}[/tex];c=[tex]\frac{x+y}{2}[/tex]
Thay vào ta được A=[tex]\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{y+x}{2z}=\frac{1}{2}\left [ \left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )+\left ( \frac{x}{z}+\frac{z}{x} \right )+\left (\frac{z}{y}+\frac{y}{z} \right )\right ][/tex]
Từ đó suy ra A[tex]\geq \frac{1}{2}\left ( 2+2+2 \right )[/tex] hay A[tex]\geq 3[/tex]