Toán [Lớp 8] Bất đẳng thức

[maitrangnghihoa5@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn a + b + c =3
CMR : a+1/1+b^2 + b+1/1+c^2 + c+1/1 + a^2 lớn hơn hoặc bằng 3

 

[Mục Phủ Mạn Tước]

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn a + b + c =3
CMR : a+1/1+b^2 + b+1/1+c^2 + c+1/1 + a^2 lớn hơn hoặc bằng 3

Gợi ý: Áp dụng BĐT Cô si ngược dấu :V

 

[Bonechimte]

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn a + b + c =3
CMR : a+1/1+b^2 + b+1/1+c^2 + c+1/1 + a^2 lớn hơn hoặc bằng 3

Theo bất đẳng thức $ AM-GM $ dễ thấy$\frac{{a + 1}}{{{b^2} + 1}} = a + 1 - \frac{{\left( {a + 1} \right){b^2}}}{{{b^2} + 1}} \ge a + 1 - \frac{{{b^2}\left( {a + 1} \right)}}{{2b}} = a + 1 - \frac{{ab + b}}{2}$
Tương tự ta có 2 bất đẳng thức nữa với $ b,c $ rồi cộng lại ta được $\frac{{a + 1}}{{{b^2} + 1}} + \frac{{b + 1}}{{{c^2} + 1}} + \frac{{c + 1}}{{{a^2} + 1}} \ge \left( {a + 1 - \frac{{ab + b}}{2}} \right) + \left( {b + 1 - \frac{{bc + c}}{2}} \right) + \left( {c + 1 - \frac{{ca + a}}{2}} \right)$
$ = 3 + \frac{{a + b + c - ab - bc - ca}}{2} \ge 3$
Đẳng thức xảy ra khi $ a=b=c=1$