Toán [lớp 8] bài toán liên quan tới đồng dư thức( mod)

[hophuonganh0207]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Chứng minh rằng:
a, 2[tex]^{30}+3^{30}[/tex] chia hết cho 7
b, 2[tex]^{2^{4n+1}}[/tex] +7 chia hết cho 11
c, 2[tex]^{28}[/tex] - 1 chia hết cho 29
Bài 2: Chứng minh rằng trong các số có dạng 2[tex]^{n}[/tex] - 3 có vô số số chia hết cho 13

 

[Mark Urich]

Bài 1: Chứng minh rằng:
a, 2[tex]^{30}+3^{30}[/tex] chia hết cho 7
b, 2[tex]^{2^{4n+1}}[/tex] +7 chia hết cho 11
c, 2[tex]^{28}[/tex] - 1 chia hết cho 29
Bài 2: Chứng minh rằng trong các số có dạng 2[tex]^{n}[/tex] - 3 có vô số số chia hết cho 13

bài 1a ko chia hết nhé.
1b chứng minh = quy nạp.
1c là định lý nhỏ fermat với p = 29.

Bài 2, với n có dạng n = 12k + 4, k >=0 thì các số đó luôn chia hết cho 13. Chứng minh = quy nạp.
k =0 đúng, k = 1 đúng.
giả sử đúng với k.
Với k+ 1 đúng vì: biểu thức = 2 mũ 12 x 2 mũ 12k + 4 - 3 = 2 mũ 12 (2 mũ 12k+4 - 3) - 3(2 mũ 12 - 1)
vì 2 mũ 12 - 1 chia hết cho 13 nên đúng với k+1.

 

[hophuonganh0207]

bài 1a ko chia hết nhé.
1b chứng minh = quy nạp.
1c là định lý nhỏ fermat với p = 29.

Bài 2, với n có dạng n = 12k + 4, k >=0 thì các số đó luôn chia hết cho 13. Chứng minh = quy nạp.
k =0 đúng, k = 1 đúng.
giả sử đúng với k.
Với k+ 1 đúng vì: biểu thức = 2 mũ 12 x 2 mũ 12k + 4 - 3 = 2 mũ 12 (2 mũ 12k+4 - 3) - 3(2 mũ 12 - 1)
vì 2 mũ 12 - 1 chia hết cho 13 nên đúng với k+1.

có cách nào khác ngoài cách quy nạp không???
mà câu 1a khi hỏi lại cô thì bị sai đề! phải chia hết cho 13 mới đúng

 

[Blue Plus]

Bài 1: Chứng minh rằng:
a, 2[tex]^{30}+3^{30}[/tex] chia hết cho 7
b, 2[tex]^{2^{4n+1}}[/tex] +7 chia hết cho 11
c, 2[tex]^{28}[/tex] - 1 chia hết cho 29
Bài 2: Chứng minh rằng trong các số có dạng 2[tex]^{n}[/tex] - 3 có vô số số chia hết cho 13

a.
[tex]2^6 \equiv -1 \(\mod 13) \\ 2^{30} = (2^6)^5 \equiv (-1)^5 = -1 \(\mod 13) \\ 3^3 \equiv 1 \(\mod 13) \\ 3^{30} = (3^3)^{10} \equiv 1^{10} = 1 \(\mod 13) \\ 2^{30} + 3^{30} \equiv -1 + 1 = 0 \(\mod 13)[/tex]
Vậy ...

 

[iceghost]

Bài 1: Chứng minh rằng:
a, 2[tex]^{30}+3^{30}[/tex] chia hết cho 13
b, 2[tex]^{2^{4n+1}}[/tex] +7 chia hết cho 11
c, 2[tex]^{28}[/tex] - 1 chia hết cho 29
Bài 2: Chứng minh rằng trong các số có dạng 2[tex]^{n}[/tex] - 3 có vô số số chia hết cho 13

1. $2^{6} \equiv 64 \equiv -1 \pmod{13} \implies 2^{30} \equiv (-1)^5 \equiv -1 \pmod{13}$
$3^{3} \equiv 27 \equiv 1 \pmod{13} \implies 3^{30} \equiv 1^{10} \equiv 1 \pmod{13}$
Suy ra $2^{30} + 3^{30} \equiv 0 \pmod{13}$ hay chia hết cho $13$
2. Để ý $2^4 - 3 = 13$ chia hết cho $13$ nên $2^n - 2^4 = (2^n - 3) - (2^4 - 3)$ chia hết cho $13$
Dễ thấy không có $n < 4$ thỏa nên xét $n \geqslant 4$. Khi đó $2^{n-4} - 1$ chia hết cho $13$ (do $2^4$ không chia hết cho $13$)
Nếu $n-4 = 12k$ ($k \in \mathbb{N}$) thì $2^{n-4} - 1 = 2^{12k} - 1$ chia hết cho $2^{12} - 1 = 4095$ chia hết cho $13$
Vậy với mọi $n = 12k+4$ ($k \in \mathbb{N}$) thì $2^{n} - 3$ chia hết cho $13$