Toán 8 [Lớp 8] Bài tập về biểu thức hữu tỉ

[Sư tử lạnh lùng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho mình hỏi bài này với, thầy gợi ý cho mình là thay abc=1 vào trong biểu thức rồi tính, nhưng cần phải biến đổi rồi mới tính được. Mọi người giúp mình với, đây là đề kiểm tra khảo sát học sinh giỏi đấy,
bạn nào muốn tham khảo thì giải giúp mình với.
Cho abc=1. Chứng minh rằng: [tex]\frac{1}{2a^{2}+b^{2}+3}+\frac{1}{2b^{2}+c^{2}+3}+\frac{1}{2c^{2}+a^{2}+3}\leq \frac{1}{2}[/tex]

 

[Khôi Bùi]

Với a^2 ; b^2 [tex]\geq 0[/tex] .
Áp dụng BĐt Cô - si , ta có : [tex]a^2 + b^2 \geq 2ab ; a^2 + 1 \geq 2\sqrt{a^2 } = 2a[/tex]
[tex]\Rightarrow a^2 + b^2 + a^2 + 1 + 2 \geq 2ab + 2a + 2[/tex]
[tex]\Rightarrow 2a^2 + b^2 + 3 \geq 2ab + 2a + 2 [/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{2a^2 + b^2 + 3} \leq 1/2ab + 2a + 2[/tex] (1)
CMTT , ta có :
1/2b^2 + c^2 + 3 [tex]\leq[/tex] 1/2bc + 2b + 2 (2)
1/2c^2 + a^2 + 3 [tex]\leq[/tex] 1/2ac + 2c + 2 (3)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) , ta có :
1/2a^2 + b^2 + 3 + 1/2b^2 + c^2 + 3 + 1/2c^2 + a^2 + 3 [tex]\leq[/tex] 1/2ab + 2a + 2 + 1/2bc + 2b + 2 + 1/2ac + 2c + 2
=> 1/2a^2 + b^2 + 3 + 1/2b^2 + c^2 + 3 + 1/2c^2 + a^2 + 3 [tex]\leq[/tex] 1/2 ( 1/ab + a + 1 + 1/bc + b + 1 + 1/ac + c + 1 ) (*)
Lại có :
1/ab + a + 1 + 1/bc + b + 1 + 1/ac + c + 1
= 1/ab + a + 1 + a/abc + ab + a + ab/ab.ac + abc + ab
= 1/ab + a + 1 + a/1 + ab + a + ab/a + 1 + ab
= 1 + a + ab / ab + a + 1
= 1 (*')
Từ (*) ; (*') , ta có :
1/2a^2 + b^2 + 3 + 1/2b^2 + c^2 + 3 + 1/2c^2 + a^2 + 3 [tex]\leq[/tex] 1/2 ( đpcm )
. Ko biết có đúng ko nữa ?