1.Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: [tex]2^{x}+1=y^{2}[/tex]
1.
$2^{x}+1=y^{2}\Rightarrow 2^{x}=(y+1)(y-1)$
[tex]\Rightarrow y+1=\dfrac{2^{x}}{y-1}=2^{a}\\y-1=\dfrac{2^{x}}{y+1}=2^{b}[/tex] ($y+1>y-1\Rightarrow a>b;a,b\in N$)
[tex]2^{a}-2^{b}=y+1-y+1\\\Leftrightarrow 2^{b}(2^{a-b}-1)=2\\m,n\in N;2^{b}>2^{a-b}-1\\\Rightarrow \begin{cases}2^{b}=2\Rightarrow b=1\\2^{a-b}-1=1\Leftrightarrow 2^{a-1}=2\Leftrightarrow a-1=1\Leftrightarrow a=2 \end{cases}\\\Rightarrow \begin{cases}y+1=2^{2}=4\Rightarrow y=3\\2^{x}+1=9\Leftrightarrow 2^{x}=8\Leftrightarrow x=3(x\in N) \end{cases}[/tex]
2.
[tex]\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z}\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{xy}{xyz}\\\Rightarrow xyz(x+y)=(xy)^{2}\\\Leftrightarrow z(x+y)=xy\\\Leftrightarrow xy-xz-yz+z^{2}=z^{2}\\\Leftrightarrow x(y-z)-z(y-z)=z^{2}\\\Leftrightarrow (x-z)(y-z)=z^{2}\\Gọi \ a=(x-z,y-z)\Rightarrow z\vdots d\Rightarrow x\vdots d\Rightarrow y\vdots d\Rightarrow d=1[/tex]
=> $x-z$ và $y-z$ là số chính phương
Đặt $x-z=b^{2};y-z=c^{2}(b,c\in N)\Rightarrow z^{2}=(bc)^{2}\Rightarrow z=bc$
=> $x+y=(x-z)+(y-z)+2z=b^{2}+c^{2}+2bc=(b+c)^{2}$
=> $x+y$ là số chính phương
3.
$z\geq 60;x+y+z=100\Rightarrow y<60$
=> $60-y>0;60-z\leq 0\\\Rightarrow (60-y)(60-z)\leq 0\\\Leftrightarrow 3600-60z-60y+yz\leq 0\\\Leftrightarrow -60(x+y-60)+yz\leq 0\\\Leftrightarrow yz\leq 60(x+y-60)$
=>$A=xyz\leq 60x(x+y-60)\leq 60.\dfrac{(x+y+z-60)^{2}}{4}=60.\dfrac{(100-60)^{2}}{4}=24000$(theo BĐT Cô-si)
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow \begin{cases}2x=x+y+z-60\\x,y\geq 0\\x+y+z=100 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=y=20\\z=60 \end{cases}[/tex]
Vậy [tex]Max \ A=24000\Leftrightarrow \begin{cases}x=y=20\\z=60 \end{cases}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
