Toán [Lớp 7] Toán chứng minh

[Sư tử lạnh lùng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.CMR: a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) <2

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.CMR: a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) <2

Vì $a,b,c$ là $3$ cạnh của một tam giác nên $a<b+c; b<a+c; c<a+b$ và $a,b,c>0$.
Áp dụng BĐT $\dfrac xy<\dfrac{x+m}{y+m}$ với $x<y; m>0$ ta có: $\dfrac a{b+c}<\dfrac{2a}{a+b+c}$.
Tương tự: $\dfrac b{a+c}<\dfrac{2b}{a+b+c}; \dfrac c{a+b}<\dfrac{2c}{a+b+c}$.
Cộng vế với vế của $3$ BĐT trên ta được đpcm.

 

[Blue Plus]

Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.CMR: a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) <2

Do $ a, b, c $ là độ dài 3 cạnh của tam giác nên $ a > 0, b > 0, c > 0 $
Áp dụng $ \frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m} $ với $ m > 0, a < b $
$ \frac{a}{b + c} < \frac{a + a}{a + b + c} = \frac{2a}{a + b + c}\\ \frac{b}{c + a} < \frac{b + b}{a + b + c} = \frac{2b}{a + b + c} \\ \frac{c}{a + b} < \frac{c + c}{a + b + c} = \frac{2c}{a + b + c} \\\Rightarrow \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} < \frac{2a}{a + b + c} + \frac{2b}{a + b + c} + \frac{2c}{a + b + c} = \frac{2a + 2b + 2c}{a + b + c} = \frac{2(a + b + c) }{a + b + c} = 2 $
Vậy $ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} < 2 $

 

[Sư tử lạnh lùng]

Do $ a, b, c $ là độ dài 3 cạnh của tam giác nên $ a > 0, b > 0, c > 0 $
Áp dụng $ \frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m} $ với $ m > 0, a < b $
$ \frac{a}{b + c} < \frac{a + a}{a + b + c} = \frac{2a}{a + b + c}\\ \frac{b}{c + a} < \frac{b + b}{a + b + c} = \frac{2b}{a + b + c} \\ \frac{c}{a + b} < \frac{c + c}{a + b + c} = \frac{2c}{a + b + c} \\\Rightarrow \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} < \frac{2a}{a + b + c} + \frac{2b}{a + b + c} + \frac{2c}{a + b + c} = \frac{2a + 2b + 2c}{a + b + c} = \frac{2(a + b + c) }{a + b + c} = 2 $
Vậy $ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} < 2 $

Cảm ơn nhé!