Toán [Lớp 7] Số nguyên tố

[Oblivion69]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh n là hợp số thì 2^n- 1 cũng là hợp số

 

[Hạ Mộcc]

Đặt A= 1+2^1+2^2+.....+[tex]2^{n-1}[/tex] (1) (điều kiện: n là hợp số)
[tex]\Rightarrow[/tex]2A =2.[1+2^1+2^2+.....+ [tex]2^{n-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex]2A=2^1+2^2+.....+ [tex]2^{n-1}[/tex] +[tex]2^{n}[/tex] (2)
lấy (2) - (1) vế theo vế ta có:
2A-A= [tex]2^{n-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex]A= [tex]2^{n-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]2^{n-1}[/tex] = 1+2^1+2^2+.....+ [tex]2^{n-1}[/tex]
vì n là hợp số [tex]\Rightarrow[/tex] n=a.b ( a,b thuộc N ; a >1; b>1)
[tex]\Rightarrow[/tex] 1+2^1+2^2+.....+ [tex]2^{n-1}[/tex] =1+2^1+2^2+.....+[tex]2^{ab-1}[/tex]
trong tổng 1+2^1+2^2+.....+[tex]2^{ab-1}[/tex] có (a.b-1-0) :1+1 =a.b số hạng
[tex]\Rightarrow[/tex] tổng 1+2^1+2^2+.....+[tex]2^{ab-1}[/tex] có thể chia thành b nhóm ; hoặc a nhóm
[tex]\Rightarrow[/tex]1+2^1+2^2+.....+ [tex]2^{ab-1}[/tex] chia hết cho a và chia hết cho b mà a,b thuộc N ; a >1; b>1
[tex]\Rightarrow[/tex]1+2^1+2^2+.....+[tex]2^{ab-1}[/tex] là hợp số [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]2^{n-1}[/tex] cũng là hợp số

 

[Mark Urich]

Đặt A= 1+2^1+2^2+.....+[tex]2^{n-1}[/tex] (1) (điều kiện: n là hợp số)
[tex]\Rightarrow[/tex]2A =2.[1+2^1+2^2+.....+ [tex]2^{n-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex]2A=2^1+2^2+.....+ [tex]2^{n-1}[/tex] +[tex]2^{n}[/tex] (2)
lấy (2) - (1) vế theo vế ta có:
2A-A= [tex]2^{n-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex]A= [tex]2^{n-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex][tex]2^{n-1}[/tex] = 1+2^1+2^2+.....+ [tex]2^{n-1}[/tex]
vì n là hợp số [tex]\Rightarrow[/tex] n=a.b ( a,b thuộc N ; a >1; b>1)
[tex]\Rightarrow[/tex] 1+2^1+2^2+.....+ [tex]2^{n-1}[/tex] =1+2^1+2^2+.....+[tex]2^{ab-1}[/tex]
trong tổng 1+2^1+2^2+.....+[tex]2^{ab-1}[/tex] có (a.b-1-0) :1+1 =a.b số hạng
[tex]\Rightarrow[/tex] tổng 1+2^1+2^2+.....+[tex]2^{ab-1}[/tex] có thể chia thành b nhóm ; hoặc a nhóm
[tex]\Rightarrow[/tex]1+2^1+2^2+.....+ [tex]2^{ab-1}[/tex] chia hết cho a và chia hết cho b mà a,b thuộc N ; a >1; b>1
[tex]\Rightarrow[/tex]1+2^1+2^2+.....+[tex]2^{ab-1}[/tex] là hợp số [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]2^{n-1}[/tex] cũng là hợp số

Lý luận chỗ chia nhóm rồi suy ra chia hết cho a và b là chưa đúng.
Cho 1 ví dụ với n = 4 chẳng hạn, 4 = 2.2
nhưng 2 mũ 4 - 1 = 15 = 3.5 ko chia hết cho 2.

 

[Mark Urich]

chứng minh n là hợp số thì 2^n- 1 cũng là hợp số

nếu n là hợp số thì n sẽ có 1 ước nguyên tố p nào đó với 1 < p < n. tức là n = k.p, 1 < k < n.
suy ra: A = [tex]2^{n} - 1 = (2^{p})^{k} - 1 = ((2^{p} - 1) + 1)^{k} - 1[/tex]
đặt [tex]a = 2^{p} - 1[/tex] suy ra A = [tex](a + 1)^{k} - 1[/tex] luôn chia hết cho a (tất nhiên 1 < a < A)
tức là A luôn có 1 ước lớn hơn 1 và nhỏ hơn nó. Vậy A là hợp số.
vì: [tex]a + 1 \equiv 1[/tex] (mod a)
[tex](a + 1)^{k} \equiv 1[/tex] (mod a)
[tex](a + 1)^{k} - 1 \equiv 0[/tex] (mod a)