[lớp 12] bài tập về nguyên hàm

[miumiu34]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[trantien.hocmai]

$\int \frac{dx}{x(x+1)(x^2+x+1)}=\int \frac{dx}{(x^2+x)(x^2+x+1)}$
$=\int (\frac{1}{x^2+x}-\frac{1}{x^2+x+1})dx$
$=\int \frac{dx}{x^2+x}- \int \frac{dx}{x^2+x+1}$
$=\int (\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})dx-\int \frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$
$=ln|x|-ln|x+1|-\int \frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$
đặt
$J=\int \frac{dx}{(x+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$
đặt $x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}tant -> dx=\frac{\sqrt{3}}{2}(1+tan^2t)dt$
đến đây tự giải tiếp nhá
------------------------
HI HI HI TA ĐÃ TRỞ LẠI

 

[hung.nguyengia2013@yahoo.com.vn]

\[\begin{array}{l}
I = \int {\frac{{dx}}{{x(1 + x)({x^2} + x + 1)}}} = \int {\frac{{({x^3} - 1)dx}}{{x(x + 1)(x - 1)}}} \\
\dfrac{1}{{x(x + 1)(x - 1)}} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{{x + 1}} + \dfrac{C}{{x - 1}} = \dfrac{{A(x + 1)(x - 1) + Bx(x - 1) + Cx(x + 1)}}{{x(x + 1)(x - 1)}}\\
x = 2 \Rightarrow 3A + 2B + 6C = 1\\
x = 3 \Rightarrow 8A + 6B + 12C = 1\\
x = 4 \Rightarrow 15A + 12B + 20C = 1\\
\Rightarrow A = - 1;B = \dfrac{1}{2};C = \dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow I = \int {\left( { - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{2(x + 1)}} + \dfrac{1}{{2(x - 1)}}} \right)({x^3} - 1)dx} = \int {\frac{{(1 - {x^3})dx}}{x}} + \int {\frac{{({x^3} - 1)dx}}{{2(x + 1)}}} + \int {\frac{{({x^3} - 1)dx}}{{2(x - 1)}}} \\
= \int {\frac{{dx}}{x}} - \int {{x^2}dx} + \dfrac{1}{2}\int {\frac{{({x^3} - 1)dx}}{{x + 1}}} + \dfrac{1}{2}\int {({x^2} + x + 1)dx} = \ln \left| x \right| + \dfrac{{2{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + x + \dfrac{1}{2}\int {\frac{{({x^3} - 1)dx}}{{x + 1}}} \\
{I_1} = \dfrac{1}{2}\int {\frac{{[{{(x + 1 - 1)}^3} - 1]d(x + 1)}}{{x + 1}}} = \dfrac{1}{2}\int {[{{(x + 1)}^2} - 3(x + 1) + 3 - \dfrac{2}{{x + 1}}]d(x + 1)} \\
= \dfrac{1}{2}\left( {\frac{{{{(x + 1)}^3}}}{3} - \dfrac{{3{{(x + 1)}^2}}}{2} + 3(x + 1) - 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right)\\
\Rightarrow I = \ln \left| x \right| + \dfrac{{2{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + x + \dfrac{{{{(x + 1)}^3}}}{6} - \dfrac{{3{{(x + 1)}^2}}}{4} + \dfrac{{3(x + 1)}}{2} - \ln \left| {x + 1} \right| + C
\end{array}\]

 

[hung.nguyengia2013@yahoo.com.vn]

Hic, mình quên mất cái này nên bài làm dài dòng quá
\[\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}} = \dfrac{1}{x(x+1)}\]