tìm số tự nhiên khác 0 n sao cho 2^n+1 là só chính phương
ta thấy n=1 và n=2 ko phải là nghiệm.
nên ta xét n >= 3 trở lên do đó có thể đặt n = k + 2 với k >=1.
để [tex]2^{n}[/tex] + 1 là số chính phương lẻ (ko thể là số chính phương chẵn đc vì nó là số lẻ)thì nó phải có dạng [tex](2m + 1)^{2}[/tex] với m >= 0.
suy ra có: [tex]2^{k+2} + 1 = (2m+1)^{2}[/tex]
suy ra: [tex]2^{k} = m(m+1)[/tex] với k >=1 và m>=0.
dễ thấy m =0 cũng ko có nghiệm.
với m=1 thì ta có nghiệm là k =1.
với m > 1 thì vế phải là tích của 2 số nguyên dương liên tiếp > 2 nên bao giờ cũng có 1 số lẻ >=3 trở lên. suy ra vế trái cũng phải có 1 ước lẻ >=3 trở lên, vô lý vì vế trái chỉ có các ước là lũy thừa của 2.
vậy bài toán có nghiệm duy nhất là k = m =1 tức là n = 3 là số tự nhiên duy nhất cần tìm.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
