tìm a để hàm số $y=f(X)=\dfrac{x^2-x +a}{x-1}$ có một giá trị cực trị bằng 0
Chú ý tiêu đề
[TEX]y' = \frac{x^2-2x+(1-a)}{(x-1)^2}=\frac{g(x)}{(x-1)^2}[/TEX]
* Đầu tiên để hàm số có cực trị, cần phương trình y' = 0 có 2 nghiệm đơn phân biệt => g(x) có 2 nghiệm đơn phân biệt
[TEX]\Rightarrow \Delta ' >0 \Rightarrow 1^2-(1-a) >0 \Rightarrow a > 0[/TEX] [TEX](1)[/TEX]
* Với a > 0, pt g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt là [TEX]x_1[/TEX] và [TEX]x_2[/TEX]
Xét hàm phân thức tổng quát:[TEX]y=\frac{P(x)}{Q(x)}[/TEX]
[TEX]y'=\frac{P'(x).Q(x) -Q'(x).P(x)}{Q^2(x)}[/TEX]
Tại cực trị thì [TEX]y' = 0 \Rightarrow P'(x).Q(x) -Q'(x).P(x) =0 \Rightarrow P'(x).Q(x) = Q'(x).P(x) \Rightarrow \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P'(x)}{Q'(x)}[/TEX]
Nói cách khác toạ độ của điểm cực trị thoả mãn: [TEX]y=\frac{P'(x)}{Q'(x)}[/TEX]
Áp dụng vào bài thì tọa độ 2 điểm cực trị thỏa mãn: [TEX]y=\frac{(x^2-x+a)'}{(x-1)'} = 2x-1[/TEX]
Vậy:
[TEX]y_1 = 2x_1-1[/TEX]
[TEX]y_2 = 2x_2 -1[/TEX]
Ta có [TEX]y_1. y_2=(2x_1-1)(2x_2-1)=4x_1.x_2-2(x_1+x_2)+1[/TEX] [TEX](*)[/TEX]
Hàm số có 1 giá trị cực trị là 0 => [TEX]y_1.y_2=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 4x_1.x_2-2(x_1+x_2)+1=0 [/TEX] [TEX](*)[/TEX]
Theo Viet cho phương trình g(x) = 0 ta có:
[TEX]x_1+x_2=2[/TEX]
[TEX]x_1.x_2=1-a[/TEX]
Thế vào [TEX](*)[/TEX] được:
[TEX]4(1-a)-2.2+1=0 \Rightarrow \fbox{a=\frac{1}{4}}[/TEX]
(thỏa mãn [TEX](1)[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn