Toán [lớp 10] Tìm GTNN của biểu thức: P=√a^2-6a+13 + √a^2+2a+2

[Cungancom]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[kingsman(lht 2k2)]

View attachment 44043

[tex]\Leftrightarrow P=\sqrt{3-a)^{2}+2^{2}}+\sqrt{(a+1)^{2}+1^{2}}[/tex]
áp dụng Bất đẳng thức Minkowski ta được
[tex]P\geq \sqrt{(3-a+a+1)^{2} +3^{2}}\geq 5[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi a=1/3

 

[Cungancom]

[tex]\Leftrightarrow P=\sqrt{(a-3)^{2}+2^{2}}+\sqrt{(a+1)^{2}+1^{2}}[/tex]
áp dụng Bất đẳng thức Minkowski ta được
[tex]P\geq \sqrt{(x-3+x+1)^{2} +3^{2}}\geq 3[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi x=1

lạ nhỉ
với x=a =1
$P$ $=$ $\sqrt{8}$ $+$ $\sqrt{5}$ $>$ $5$ đừng nói $=3$
Minkowski sinh ra ở đâu?

 

[kingsman(lht 2k2)]

lạ nhỉ
với x=a =1
$P$ $=$ $\sqrt{8}$ $+$ $\sqrt{5}$ $>$ $5$ đừng nói $=3$
Minkowski sinh ra ở đâu?

dùng bất đẳng thức Minkowski chứ ko thể suy ra kiểm như vậy dc
chỗ đó mình nhầm a với x

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

View attachment 44043

$P=\sqrt{a^2-6a+13}+\sqrt{a^2+2a+2}=\sqrt{(3-a)^2+2^2}+\sqrt{(a+1)^2+1^2}\ge \sqrt{(3-a+a+1)^2+3^2}=5$ (Mincopxki)
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow a=\dfrac13$.

[tex]\Leftrightarrow P=\sqrt{(a-3)^{2}+2^{2}}+\sqrt{(a+1)^{2}+1^{2}}[/tex]
áp dụng Bất đẳng thức Minkowski ta được
[tex]P\geq \sqrt{(a-3+a+1)^{2} +3^{2}}\geq 3[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi x=1

Đẳng thức không xảy ra anh ạ ^^

 

[iceghost]

Thực ra bạn cũng có thể sử dụng độ dài vecto thay cho bđt Minkowsky:

Spoiler: Giải

Đặt $\vec{a} = (3-a,2)$ và $\vec{b} = (a+1,1) \implies \vec{a} + \vec{b} = (4,3)$
Áp dụng bđt vectơ: $$|\vec{a}| + |\vec{b}| \geqslant |\vec{a} + \vec{b}| \\ \implies \sqrt{(3-a)^2 + 2^2} + \sqrt{(a+1)^2 + 1^2} \geqslant \sqrt{4^2+3^2} \\ \implies P \geqslant 5$$
Dấu '=' xảy ra $\iff \vec{a}, \vec{b}$ cùng hướng $\iff 3-a = 2(a+1)$ (do $2 \cdot 1 > 0$) $\iff a = \dfrac13$