Toán [Lớp 10] Chứng minh BĐT

[huynhnguyn101@yahoo.com.vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Với a,b,c dương. Chứng minh:
a) (a+b)(1+ab)>= 4ab
b) (a+b)(b+c)(c+a)>=8abc
c) (ac+b/c)>=2căn(ab)
2.
a) a^4 + b^4 >= (a^3)b + a(b^3) với mọi a,b thuộc R
b) (1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)>=8 với a,b,c > 0
c) (a+b+c)^2 <= (a^2 + b^2 + c^2) với mọi a,b,c thuộc R.
e) Cho a,b>0 chứng minh: (1+a/b)^2 + (1+b/a)^2 >=8

 

[yennhi1312]

1. Với a,b,c dương. Chứng minh:
a) (a+b)(1+ab)>= 4ab
b) (a+b)(b+c)(c+a)>=8abc
c) (ac+b/c)>=2căn(ab)
2.
a) a^4 + b^4 >= (a^3)b + a(b^3) với mọi a,b thuộc R
b) (1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)>=8 với a,b,c > 0
c) (a+b+c)^2 <= (a^2 + b^2 + c^2) với mọi a,b,c thuộc R.
e) Cho a,b>0 chứng minh: (1+a/b)^2 + (1+b/a)^2 >=8

1.
a) $(a+b)(1+ab)\ge 2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}=4ab$.
b) $(a+b)(b+c)(c+a)\ge 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc$.
c) $ac+\dfrac bc\ge 2\sqrt{ac.\dfrac bc}=2\sqrt{ab}$.
2.
a) bđt $\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2)\ge 0$ (luôn đúng)
b) $(1+\dfrac ab)(1+\dfrac bc)(1+\dfrac ca)\ge 2\sqrt{\dfrac ab}.2\sqrt{\dfrac bc}.2\sqrt{\dfrac ca}=8$.
c) $(a+b+c)^2\le \color{red}{3}(a^2+b^2+c^2)$ chứ nhỉ?
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\le a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2=3(a^2+b^2+c^2)$.
e) bđt $\Leftrightarrow (\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2})+2(\dfrac ab+\dfrac ba)\ge 6$.
Ta có: $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}\ge 2\sqrt{\dfrac{a^2}{b^2}.\dfrac{b^2}{a^2}}=2; \dfrac ab+\dfrac bc\ge 2\sqrt{\dfrac ab.\dfrac ba}=2$.
Suy ra đpcm.

 

[gocsuy]

Câu 2a:
Đặt x = a^2 + b^2
y = a*b
Khi đó:
a^4 + b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2 = x^2 - 2y^2
a^3 b + a b^3 = ab(a^2+b^2) = xy
Bất đẳng thức:
a^4 + b^4 >= (a^3)b + a(b^3) ⇔ x^2 - 2y^2 >= xy
⇔ x^2 - xy - 2y^2 >= 0
⇔ (x^2 - y^2) - (xy + y^2) >= 0
⇔ (x-y)(x+y) - y(x+y) >=0
⇔ (x+y)(x-2y) >=0

Có: x+y = a^2 + b^2 + ab = a^2 + 2*a*(b/2) + (b/2)^2 + 3b^2/4 = (a+b/2)^2 + 3b^2/4 >= 0
Và: x-2y = a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2 >= 0
=> (x+y)(x-2y) >=0
Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh.