Toán [Lớp 10] Chứng minh bất đẳng thức

[robinn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex]\frac{1}{1+a^{2}} + \frac{1}{1+b^{2}} \geq \frac{2}{1+ab}[/tex] Với mọi a,b [tex]\geq 1[/tex]

([tex](a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1) \geq 8abc[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

[tex]\frac{1}{1+a^{2}} + \frac{1}{1+b^{2}} \geq \frac{2}{1+ab}[/tex] Với mọi a,b [tex]\geq 1[/tex]

đpcm $\Leftrightarrow (1+b^2)(1+ab)+(1+a^2)(1+ab)\ge 2(1+a^2)(1+b^2)$
$\Leftrightarrow 1+ab+b^2+ab^3+1+ab+a^2+a^3b\ge 2+2b^2+2a^2+2a^2b^2$
$\Leftrightarrow (a^3b-2a^2b^2+ab^3)-(a^2-2ab+b^2)\ge 0$
$\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\ge 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(ab-1)=0$ (luôn đúng do $ab\ge 1)$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=1$.

([tex](a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1) \geq 8abc[/tex]

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\ge 2a.2b.2c=8abc$ (đpcm) (Cauchy)
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=1$.