Toán [Lớp 10] Bất đẳng thức

[thaofam2001@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn abc=1. Cmr
[tex]\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+[/tex] [tex]\frac{1}{c+a+1}\leq 1[/tex]

 

[Ann Lee]

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn abc=1. Cmr
[tex]\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+[/tex] [tex]\frac{1}{c+a+1}\leq 1[/tex]

Cho các số thực a,b,c>0 chứ bạn.
BĐT phụ: [tex]x+y\geq \sqrt[3]{xy}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})[/tex]với x,y>0 ( chứng minh bằng biến đổi tương đương)
Áp dụng BĐT phụ trên:
[tex]a+b\geq \sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})=\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{c}}[/tex] ( vì abc=1)
[tex]\Rightarrow a+b+1\geq \frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{c}}[/tex]
Tương tự:...
Suy ra: [tex]\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq \frac{\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}+\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}+\frac{\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}=1[/tex] (đpcm)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1