Cho các số thực dương a,b,c sao cho [tex]a^2+b^2+c^2=1[/tex] . Cmr
[tex]\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+[/tex] [tex]\frac{1}{c^2+a^2}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3[/tex]
+)Ta có: [tex]\frac{a^{3}}{2abc}\geq \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}[/tex] (*)
Thật vậy: (*) [tex]\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{2bc}\geq \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\Leftrightarrow \frac{a^{2}(b^{2}+c^{2})-a^{2}2bc}{2bc(b^{2}+c^{2})}\geq 0\Leftrightarrow \frac{a^{2}(b-c)^{2}}{2bc(b^{2}+c^{2})}\geq 0[/tex] luôn đúng
Tương tự:....
Suy ra: [tex]\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}\geq \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}[/tex] (**)
+) Có: $\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}$
$=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}})$ ( vì $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$)
$=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}+a^{2}}$
$=3+\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}$
$\leq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}+3$ (đpcm) (vì (**) )
Đẳng thức xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
