Toán [Lớp 10] Bất đẳng thức

doanpham@gmail.com

Học sinh
Thành viên
11 Tháng mười hai 2017
152
32
44
Ninh Bình
THPT Kim Sơn A

Ann Lee

Cựu Mod Toán
Thành viên
14 Tháng tám 2017
1,782
2,981
459
Hưng Yên
cho hai số thực a,b t/m:a2+b21a^2+b^2\geq 1 và ab>0.tìm min P=(a5+b5)(a+b)(a^5+b^5)(a+b)
Nghĩ ra cách này những không hay lắm, bạn tham khảo :3
Toàn bộ đều sử dụng BĐT Cauchy
P=(a5+b5)(a+b)=a6+a5b+b5a+b6a6+2a5b.b5a+b6=a6+2a3b3+b6=(a3+b3)2P=(a^{5}+b^{5})(a+b)=a^{6}+a^{5}b+b^{5}a+b^{6}\geq a^{6}+2\sqrt{a^{5}b.b^{5}a}+b^{6}=a^{6}+2a^{3}b^{3}+b^{6}=(a^{3}+b^{3})^{2}
4P4(a3+b3)2=(2a3+2b3)2=(a3+a3+24+b3+b3+2422)2\Rightarrow 4P\geq 4(a^{3}+b^{3})^{2}=(2a^{3}+2b^{3})^{2}=(a^{3}+a^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}+b^{3}+b^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}
(3a3.a3.243+3b3.b3.24322)2\geq (3\sqrt[3]{a^{3}.a^{3}.\frac{\sqrt{2}}{4}}+3\sqrt[3]{b^{3}.b^{3}.\frac{\sqrt{2}}{4}}-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}
=(3243(a2+b2)22)2(3243.122)2=2=(3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4}}(a^{2}+b^{2})-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}\geq (3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4}}.1-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=2
P12\Rightarrow P\geq \frac{1}{2}
Dấu "="...
#An: Hóng cách giải khác nhanh hơn của các cao nhân :3
 

doanpham@gmail.com

Học sinh
Thành viên
11 Tháng mười hai 2017
152
32
44
Ninh Bình
THPT Kim Sơn A
Nghĩ ra cách này những không hay lắm, bạn tham khảo :3
Toàn bộ đều sử dụng BĐT Cauchy
P=(a5+b5)(a+b)=a6+a5b+b5a+b6a6+2a5b.b5a+b6=a6+2a3b3+b6=(a3+b3)2P=(a^{5}+b^{5})(a+b)=a^{6}+a^{5}b+b^{5}a+b^{6}\geq a^{6}+2\sqrt{a^{5}b.b^{5}a}+b^{6}=a^{6}+2a^{3}b^{3}+b^{6}=(a^{3}+b^{3})^{2}
4P4(a3+b3)2=(2a3+2b3)2=(a3+a3+24+b3+b3+2422)2\Rightarrow 4P\geq 4(a^{3}+b^{3})^{2}=(2a^{3}+2b^{3})^{2}=(a^{3}+a^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}+b^{3}+b^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}
(3a3.a3.243+3b3.b3.24322)2\geq (3\sqrt[3]{a^{3}.a^{3}.\frac{\sqrt{2}}{4}}+3\sqrt[3]{b^{3}.b^{3}.\frac{\sqrt{2}}{4}}-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}
=(3243(a2+b2)22)2(3243.122)2=2=(3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4}}(a^{2}+b^{2})-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}\geq (3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4}}.1-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=2
P12\Rightarrow P\geq \frac{1}{2}
Dấu "="...
#An: Hóng cách giải khác nhanh hơn của các cao nhân :3
2P=a6+b6+a6+b6+2ab(a4+b4)a^6+b^6+a^6+b^6+2ab(a^4+b^4) \geq a6+b6+a2b4+a4b2+2a2b2(a2+b2)a^6+b^6+a^2b^4+a^4b^2+2a^2b^2(a^2+b^2)=(a2+b2)21(a^2+b^2)^2\geq 1
suy ra P\geq 12\frac{1}{2}
 

kingsman(lht 2k2)

Mùa hè Hóa học|Ngày hè tuyệt diệu
Thành viên
TV BQT tích cực 2017
Nghĩ ra cách này những không hay lắm, bạn tham khảo :3
Toàn bộ đều sử dụng BĐT Cauchy
P=(a5+b5)(a+b)=a6+a5b+b5a+b6a6+2a5b.b5a+b6=a6+2a3b3+b6=(a3+b3)2P=(a^{5}+b^{5})(a+b)=a^{6}+a^{5}b+b^{5}a+b^{6}\geq a^{6}+2\sqrt{a^{5}b.b^{5}a}+b^{6}=a^{6}+2a^{3}b^{3}+b^{6}=(a^{3}+b^{3})^{2}
4P4(a3+b3)2=(2a3+2b3)2=(a3+a3+24+b3+b3+2422)2\Rightarrow 4P\geq 4(a^{3}+b^{3})^{2}=(2a^{3}+2b^{3})^{2}=(a^{3}+a^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}+b^{3}+b^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}
(3a3.a3.243+3b3.b3.24322)2\geq (3\sqrt[3]{a^{3}.a^{3}.\frac{\sqrt{2}}{4}}+3\sqrt[3]{b^{3}.b^{3}.\frac{\sqrt{2}}{4}}-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}
=(3243(a2+b2)22)2(3243.122)2=2=(3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4}}(a^{2}+b^{2})-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}\geq (3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4}}.1-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=2
P12\Rightarrow P\geq \frac{1}{2}
Dấu "="...
#An: Hóng cách giải khác nhanh hơn của các cao nhân :3
một ý tưởng khác
(a5+b5)(a+b)=a6+b6+ab(a4+b4)(a^{5}+b^{5})(a+b)=a^{6}+b^{6}+ab(a^{4}+b^{4})
=(a2+b2)(a4+b4a2b2)+ab(a4+b4)=(a^{2}+b^{2})(a^{4}+b^{4}-a^{2}b^{2})+ab(a^{4}+b^{4})
=(a4+b4)(a2+b2)+ab[a4+b4ab(a2+b2)]=(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})+ab[a^{4}+b^{4}-ab(a^{2}+b^{2})]
=(a4+b4)(a2+b2)+ab(ab)2(a2+ab+b2)a4+b4a2+b2212=(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})+ab(a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})\geq a^{4}+b^{4}\geq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}
dấu "=" xảy ra khi a=b=+12a=b=+-\frac{1}{\sqrt{2}}
 
  • Like
Reactions: baogiang0304
Top Bottom