Toán [Lớp 10] Bất đẳng thức

[doanpham@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho hai số thực a,b t/m:[tex]a^2+b^2\geq 1[/tex] và ab>0.tìm min P=[tex](a^5+b^5)(a+b)[/tex]

 

[Ann Lee]

cho hai số thực a,b t/m:[tex]a^2+b^2\geq 1[/tex] và ab>0.tìm min P=[tex](a^5+b^5)(a+b)[/tex]

Nghĩ ra cách này những không hay lắm, bạn tham khảo :3
Toàn bộ đều sử dụng BĐT Cauchy
$P=(a^{5}+b^{5})(a+b)=a^{6}+a^{5}b+b^{5}a+b^{6}\geq a^{6}+2\sqrt{a^{5}b.b^{5}a}+b^{6}=a^{6}+2a^{3}b^{3}+b^{6}=(a^{3}+b^{3})^{2}$
$\Rightarrow 4P\geq 4(a^{3}+b^{3})^{2}=(2a^{3}+2b^{3})^{2}=(a^{3}+a^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}+b^{3}+b^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$
$\geq (3\sqrt[3]{a^{3}.a^{3}.\frac{\sqrt{2}}{4}}+3\sqrt[3]{b^{3}.b^{3}.\frac{\sqrt{2}}{4}}-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$
$=(3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4}}(a^{2}+b^{2})-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}\geq (3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4}}.1-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=2$
[tex]\Rightarrow P\geq \frac{1}{2}[/tex]
Dấu "="...
#An: Hóng cách giải khác nhanh hơn của các cao nhân :3

 

[doanpham@gmail.com]

Nghĩ ra cách này những không hay lắm, bạn tham khảo :3
Toàn bộ đều sử dụng BĐT Cauchy
$P=(a^{5}+b^{5})(a+b)=a^{6}+a^{5}b+b^{5}a+b^{6}\geq a^{6}+2\sqrt{a^{5}b.b^{5}a}+b^{6}=a^{6}+2a^{3}b^{3}+b^{6}=(a^{3}+b^{3})^{2}$
$\Rightarrow 4P\geq 4(a^{3}+b^{3})^{2}=(2a^{3}+2b^{3})^{2}=(a^{3}+a^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}+b^{3}+b^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$
$\geq (3\sqrt[3]{a^{3}.a^{3}.\frac{\sqrt{2}}{4}}+3\sqrt[3]{b^{3}.b^{3}.\frac{\sqrt{2}}{4}}-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$
$=(3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4}}(a^{2}+b^{2})-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}\geq (3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4}}.1-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=2$
[tex]\Rightarrow P\geq \frac{1}{2}[/tex]
Dấu "="...
#An: Hóng cách giải khác nhanh hơn của các cao nhân :3

2P=[tex]a^6+b^6+a^6+b^6+2ab(a^4+b^4)[/tex] [tex]\geq[/tex] [tex]a^6+b^6+a^2b^4+a^4b^2+2a^2b^2(a^2+b^2)[/tex]=[tex](a^2+b^2)^2\geq 1[/tex]
suy ra P[tex]\geq[/tex] [tex]\frac{1}{2}[/tex]

 

[kingsman(lht 2k2)]

Nghĩ ra cách này những không hay lắm, bạn tham khảo :3
Toàn bộ đều sử dụng BĐT Cauchy
$P=(a^{5}+b^{5})(a+b)=a^{6}+a^{5}b+b^{5}a+b^{6}\geq a^{6}+2\sqrt{a^{5}b.b^{5}a}+b^{6}=a^{6}+2a^{3}b^{3}+b^{6}=(a^{3}+b^{3})^{2}$
$\Rightarrow 4P\geq 4(a^{3}+b^{3})^{2}=(2a^{3}+2b^{3})^{2}=(a^{3}+a^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}+b^{3}+b^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$
$\geq (3\sqrt[3]{a^{3}.a^{3}.\frac{\sqrt{2}}{4}}+3\sqrt[3]{b^{3}.b^{3}.\frac{\sqrt{2}}{4}}-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$
$=(3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4}}(a^{2}+b^{2})-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}\geq (3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{4}}.1-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=2$
[tex]\Rightarrow P\geq \frac{1}{2}[/tex]
Dấu "="...
#An: Hóng cách giải khác nhanh hơn của các cao nhân :3

một ý tưởng khác
[tex](a^{5}+b^{5})(a+b)=a^{6}+b^{6}+ab(a^{4}+b^{4})[/tex]
[tex]=(a^{2}+b^{2})(a^{4}+b^{4}-a^{2}b^{2})+ab(a^{4}+b^{4})[/tex]
[tex]=(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})+ab[a^{4}+b^{4}-ab(a^{2}+b^{2})][/tex]
[tex]=(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})+ab(a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})\geq a^{4}+b^{4}\geq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}[/tex]
dấu "=" xảy ra khi [tex]a=b=+-\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex]