B
bboy114crew
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
đồng dư là một công cụ quan trọng trong số học. đồng dư được xây dựng bởi nhà tóan học thiên tài Gass. Tuy nhiên thì đối với các em THCS đồng dư là phân học khá khó hiểu và trìu tượng. Qua nhiều cuộc trò chuyện với các em lớp 8,9 đồng thời đáp ứng nhu cầu thi trường chuyên lớp chọn của cá em, m“nh quyết định lập ra topic này để mọi người vào trao đổi về đồng dư và lí thuyết đồng dư, m“nh hi vọng rằng mọi thắc mắc về đồng dư sẽ đc giải quyết ở đây và topic này sẽ có ích nhiều cho các em trong việc học tập và nghiên cứu toán học
Dự định của mình là sẽ post 4 bài giảng lớn của các thầy mà mình đc học (có chọn lọc) và một số bài tập. Mong mọi ngưởi cho ý kiến
Trong topic này ta chỉ xét các số trên tập Z vì vậy nếu hok nói chi thêm thì các số đó là số nguyên
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BÀI 1: ĐỒNG DƯ THỨC
1.1 Định nghĩa : cho số nguyên m>1 và các số nguyên a,b. Nếu khi chia a, b cho m ta đc cùng một số dư thì ta nói a đ?#8220;ng dư với b theo modulo m
[tex]=> a \equiv b \Leftrightarrow a=mp+r; b=mq+r ( r< m) [/tex]
khi đó ta kí hiệu [tex]a \equiv b(modm)[/tex]
1.2 Định lí: Các mệnh đề sau là tương đương
[tex]i, a \equiv b[/tex]
ii, m\(a-b)
iii, [tex]\exists t \in Z : a=b +mt[/tex]
ba mệnh đề trên ta dễ dàng cm đc bằng định nghĩa
1.3 Tính Chất. Hệ quả
1. phản xạ: [tex]a \equiv a (modm)[/tex]
đối xứng: [tex]a \equiv b (modm) => b \equiv a (modm)[/tex]
bắc cầu: [tex]a \equiv b(modm); b \equiv c (modm) => a \equiv c (modm)[/tex]
2. Ta có thể cộng (trừ) từng vế nhiều đ?#8220;ng dư thức của cùng một modulo m với nhau: [tex]a_{k} \equiv b_{k} (modm) k=1,2,..,n; \varepsilon_{k} \in {1, -1} => \sum\limits_{k=1}^{n} \varepsilon_{k} a_{k} \equiv \sum\limits_{k=1}^{n} \varepsilon_{k} b_{k} (modm)[/tex]
3. Có thể nhân từng vế đông dư thức của cùng một modulo m : [tex]a_{k} \equiv b_{k} (modm) k=1,2,..,n => \prod\limits_{k=1}^{n}a_{k} \equiv \prod\limits_{k=1}^{n} b_{k} (modm)[/tex]
*hệ quả:
a, [tex]a \equiv b (modm) \Leftrightarrow a \pm c \equiv b \pm c (modm)[/tex]
[tex]b, a \equiv b+c (modm) \Leftrightarrow a-b \equiv c (modm)[/tex]
[tex]c, a \equiv b (modm) => ac \equiv bc (modm)[/tex]
điều ngược lại chỉ đúng khi (m,c)=1
d, [tex]a \equiv b (modm) \Leftrightarrow a \equiv b+mp (modm)[/tex]
[tex]e, a \equiv b(modm) => a^{n} \equiv b^{n} (modm)[/tex]
4. Nếu d\a, d\b (d,m)=1 khi đó [tex]a \equiv b(modm) \Leftrightarrow \frac{a}{d} \equiv \frac{b}{d} (modm)[/tex]
5. Nếu d\ (a,b,m) khi đó [tex]a \equiv b(modm) \Leftrightarrow \frac{a}{d} \equiv \frac{b}{d} (mod \frac{m}{d})[/tex]
6. [tex]a \equiv b( mod m_{k} ) k=1,2,..,n => a \equiv b(mod [m_{1}, m_{2},..m_{n}])[/tex] ở đây [tex][m_{1},...m_{n}][/tex] là bội chung nhỏ nhất của [tex]m_{1}, m_{2},..m_{n}[/tex]. Đây là tc khá quan trọng và có ứng dụng khá lớn
7. nếu [tex]a \equiv b (modm)[/tex] thì tập hợp ước chung của a và m (X) bằng tập ước chung của b và m (Y)
CM : cm [tex]X \subset Y[/tex] và [tex]Y \subset X[/tex]
giả sử [tex]x \in X[/tex] khi đó a,m chia hết cho x mà a-b chia hết cho m => a-b chia hết cho x, do a chia hết cho x => b chia hết cho x => x là ước chung của b và m => [tex]x \in Y => X \subset Y[/tex]
tương tự ta sẽ cm đc [tex]Y \subset X => X=Y[/tex]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các tính chất và hệ quả đc cm khá đơn giản bằng định nghĩa vì vậy mọi người có thể tự cm ( nếu hok cm đc cái nào có thể mạnh dạn hỏi mình sẽ giải đáp cho)
TO BE CONTINEU.......(mỏi tay rùi)
Dự định của mình là sẽ post 4 bài giảng lớn của các thầy mà mình đc học (có chọn lọc) và một số bài tập. Mong mọi ngưởi cho ý kiến
Trong topic này ta chỉ xét các số trên tập Z vì vậy nếu hok nói chi thêm thì các số đó là số nguyên
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BÀI 1: ĐỒNG DƯ THỨC
1.1 Định nghĩa : cho số nguyên m>1 và các số nguyên a,b. Nếu khi chia a, b cho m ta đc cùng một số dư thì ta nói a đ?#8220;ng dư với b theo modulo m
[tex]=> a \equiv b \Leftrightarrow a=mp+r; b=mq+r ( r< m) [/tex]
khi đó ta kí hiệu [tex]a \equiv b(modm)[/tex]
1.2 Định lí: Các mệnh đề sau là tương đương
[tex]i, a \equiv b[/tex]
ii, m\(a-b)
iii, [tex]\exists t \in Z : a=b +mt[/tex]
ba mệnh đề trên ta dễ dàng cm đc bằng định nghĩa
1.3 Tính Chất. Hệ quả
1. phản xạ: [tex]a \equiv a (modm)[/tex]
đối xứng: [tex]a \equiv b (modm) => b \equiv a (modm)[/tex]
bắc cầu: [tex]a \equiv b(modm); b \equiv c (modm) => a \equiv c (modm)[/tex]
2. Ta có thể cộng (trừ) từng vế nhiều đ?#8220;ng dư thức của cùng một modulo m với nhau: [tex]a_{k} \equiv b_{k} (modm) k=1,2,..,n; \varepsilon_{k} \in {1, -1} => \sum\limits_{k=1}^{n} \varepsilon_{k} a_{k} \equiv \sum\limits_{k=1}^{n} \varepsilon_{k} b_{k} (modm)[/tex]
3. Có thể nhân từng vế đông dư thức của cùng một modulo m : [tex]a_{k} \equiv b_{k} (modm) k=1,2,..,n => \prod\limits_{k=1}^{n}a_{k} \equiv \prod\limits_{k=1}^{n} b_{k} (modm)[/tex]
*hệ quả:
a, [tex]a \equiv b (modm) \Leftrightarrow a \pm c \equiv b \pm c (modm)[/tex]
[tex]b, a \equiv b+c (modm) \Leftrightarrow a-b \equiv c (modm)[/tex]
[tex]c, a \equiv b (modm) => ac \equiv bc (modm)[/tex]
điều ngược lại chỉ đúng khi (m,c)=1
d, [tex]a \equiv b (modm) \Leftrightarrow a \equiv b+mp (modm)[/tex]
[tex]e, a \equiv b(modm) => a^{n} \equiv b^{n} (modm)[/tex]
4. Nếu d\a, d\b (d,m)=1 khi đó [tex]a \equiv b(modm) \Leftrightarrow \frac{a}{d} \equiv \frac{b}{d} (modm)[/tex]
5. Nếu d\ (a,b,m) khi đó [tex]a \equiv b(modm) \Leftrightarrow \frac{a}{d} \equiv \frac{b}{d} (mod \frac{m}{d})[/tex]
6. [tex]a \equiv b( mod m_{k} ) k=1,2,..,n => a \equiv b(mod [m_{1}, m_{2},..m_{n}])[/tex] ở đây [tex][m_{1},...m_{n}][/tex] là bội chung nhỏ nhất của [tex]m_{1}, m_{2},..m_{n}[/tex]. Đây là tc khá quan trọng và có ứng dụng khá lớn
7. nếu [tex]a \equiv b (modm)[/tex] thì tập hợp ước chung của a và m (X) bằng tập ước chung của b và m (Y)
CM : cm [tex]X \subset Y[/tex] và [tex]Y \subset X[/tex]
giả sử [tex]x \in X[/tex] khi đó a,m chia hết cho x mà a-b chia hết cho m => a-b chia hết cho x, do a chia hết cho x => b chia hết cho x => x là ước chung của b và m => [tex]x \in Y => X \subset Y[/tex]
tương tự ta sẽ cm đc [tex]Y \subset X => X=Y[/tex]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các tính chất và hệ quả đc cm khá đơn giản bằng định nghĩa vì vậy mọi người có thể tự cm ( nếu hok cm đc cái nào có thể mạnh dạn hỏi mình sẽ giải đáp cho)
TO BE CONTINEU.......(mỏi tay rùi)
Last edited by a moderator:
