$\left | a \right | + \left | b \right | > 2$

[thuytien_qls]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng nếu $\left | a \right | + \left | b \right | > 2$ thì phương trình sau có nghiệm $2a.x^{2} + bx + 1-a = 0$ (*)

 

[thopeo_kool]

Chứng minh bằng phản chứng

Giả sử phương trình vô nghiệm

$\rightarrow \Delta = b^2 - 8a(1 - a) < 0$

$\leftrightarrow 0 < b^2 < 8a(1 - a)$

$\leftrightarrow |b| < 2\sqrt{2a(1 - a)}$ và $a(1 - a) > 0 \leftrightarrow a(a - 1) < 0 \leftrightarrow 0 < a < 1 \rightarrow |a| = a$

$\rightarrow |a| + |b| < 2\sqrt{2a(1 - a)} + a = 2a + (1 - a) + 2\sqrt{2a(1 - a)} - 1 = (\sqrt{2a} + \sqrt{1 - a})^2 - 1$

Theo Cauchy - Schwarz ta có: $(\sqrt{2a} + \sqrt{1 - a})^2 \le (2 + 1)(a + 1 - a) = 3$

$\rightarrow |a| + |b| < 3 - 1 = 2$ (trái gt cho |a| + |b| > 2)

Vậy giả sử sai => phương trình luôn có nghiệm khi |a| + |b| > 2

 

[tanngoclai]

Sau 1 hồi mở SGK, đang trong cơn điên loạn thì ra như này =)) Nghi là sai đâu đó =))

(*) có nghiệm $ \leftrightarrow S = b^2 - 8a(1-a) = b^2 + 8a^2 - 8a \ge 0$

Mặt khác : $|b| > 2-|a| \to b^2 > a^2+4 - 4|a|$

$\to S > 9a^2 + 4 - 8a - 4|a|$

- Với $ a > 0 \to S > (3a-2)^2 \ge 0$

- Với $ a<0 \to S > 9a^2 + 4 - 8a - 4|a| = 9a^2 + 4 -4a > 0$

Do đó ... :|

là + thay vì -

@tan : - chứ ạ ... Em lười nên ghi tắt, dễ bị nhầm :v